¿Es imagen del límite de un límite de imagen?

Question

Tengo una pregunta que aparece en problemas relativos a transformación de Möbius, por ejemplo

Que $A=\{ z\in \mathbb{C} : \|z\| <1, \Re(z)>0\}$ y $f(z)=\frac{z+i}{z-1}$ $f(A)$ determinan.

A menudo es bastante sencillo encontrar $f( \partial A)$ (imagen del límite de $A$). Si supiera que $f(\partial A)=\partial (f(A))$, sólo tendría que comprobar si $f(A)$ se encuentra dentro o fuera del $\partial f(A)$.

¿Cuál es la condición suficiente en $f$ por tener $f(\partial A)=\partial (f(A))$?

Answer 1

La transformación de Möbius mapas de las líneas y los círculos los círculos y líneas, así que si $f$ es Möbius, podemos estar seguros de que $f (\partial A) = \partial( f(A))$.

Sin embargo, el resultado no es general para todas las transformaciones. Considerar la parte superior de la unidad de semicírculo $A = \{ z \in \mathbb{C} : \|z \| \leq 1, Im(z) \geq 0\}$$f(z) = z^2$. El límite de segmento de la semicírculo a lo largo del eje Real obtiene asignada por $f$ para el segmento de $0$ $1$a lo largo del eje Real, que es interior a $f(A)$ (el círculo unitario).

Espero que esto ayude!

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Anexo

Para mostrar que $f(\partial A) = \partial(f(A))$, lo voy a usar otro hecho de transformaciones de Möbius: Cada transformación de Möbius $f$ puede ser expresado como una composición de las traducciones, de las inversiones, de escala (ampliación, etc.), y rotaciones. Cada asignación conserva la propiedad "$x$ es un límite".