Biyección diferenciable $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con distinto a cero derivado cuyo inverso no es diferenciable

Question

Yo tenía un examen el día de hoy, y me preguntó sobre el teorema de la función inversa, y las condiciones exactas y de la declaración (como se indicó en el Análisis Matemático por VA Zorich): Deje $X, Y \subset \mathbb{R}$ ser abierto conjuntos y dejar que las funciones de $f: X \to Y$ $f^{-1}: Y \to X$ ser mutuamente inversas y continua en los puntos de $x_{0} \in X$$y_{0}=f(x_{0})$, respectivamente. Si $f$ es diferenciable en a$x_{0}$$f'(x_{0}) \neq 0$, $f^{-1}$ también es diferenciable en a $y_{0}$ y su derivada es $$(f^{-1})'(y_{0})=(f'(x_{0}))^{-1}=\frac{1}{f'(x_{0})}.$$

Después me pidieron que venir para arriba con un ejemplo que demuestra que la condición de que $f^{-1}$ ser continua en $y_{0}$ no es redundante, es decir, que existe una diferenciable bijection $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f'(x) \neq 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$, pero cuya inversa $f^{-1}$ no es diferenciable en algún punto de $y_{0} \in \mathbb{R}$ (mi profesor afirmó que tanto el dominio y el rango son $\mathbb{R}$, pero estaría abierto a cualquier ejemplo de cuyo dominio/rango de abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}$). No podía encontrar una respuesta en el lugar, así que me quedé con la realización de una tarea, que estoy sin vergüenza pedir ayuda aquí.

Aquí hay algunos ejemplos que casi, pero no encaja en el proyecto de ley:

1. $f(x)=x^3, f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, cuya inversa $f^{-1}(y)=\sqrt[3]y$ no es diferenciable en a $0$, pero el problema es que $f'(0)=0$. Si $f'(x) \neq 0$ fueron retirados como una de las condiciones, muchos contraejemplos podría ser fácil de encontrar, ya que cualquier bijection $f$ cuya derivada es cero en $x$ implica que el $f^{-1}$ no es diferenciable en a $f(x)$.

2. Un ejemplo de lo que es posiblemente más cerca de lo que yo estoy buscando es la que se encuentra en la respuesta de las Funciones que son Continuas, pero no Bicontinuous, que se ajusta a la ley por completo, excepto para el dominio, rango, debido a que $f^{-1}$ no es continua en 1, y no digamos diferenciable, pero su dominio no está abierto o en conjunto conectado, por lo que no sería fácil de extender su dominio a $\mathbb{R}$ y aún así mantener todas sus propiedades.

Soy consciente de que el inverso $f^{-1}$ de un continuo bijection $f$ definida en un intervalo ($\mathbb{R}$ en este caso) también es continuo, de modo que el "patológico inversa" que estoy buscando es continua (a diferencia del ejemplo 2), pero no diferenciable (es decir, "de punta") en un punto, aunque $f$ no es "de punta" a cualquier lugar.

Answer 1

Sobre si "existe un diferenciable bijection $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f'(x) \neq 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$, pero cuya inversa $f^{-1}$ no es diferenciable en algún punto de $y_{0} \in \mathbb{R}$": no creo que esto es posible.

Prueba: Recordar que todo continua bijection en $\mathbb R$ tiene un continuo inversa. Así que, sin duda esto tiene para $f.$ considera la diferencia cociente

$$\tag 1 \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{f(f^{-1}(y))- f(f^{-1}(y_0))}.$$

Como $y\to y_0,$ $f^{-1}(y) \to f^{-1}(y_0).$ por Lo tanto $(1)$ converge a la familiarizado $\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$ y hemos terminado.

Añadido posterior: Con referencia a los comentarios de abajo, me encontré con el siguiente ejemplo: En $(-1,2)$ definir $f(x) = x$ $(-1,0].$ $(0,1)$ hacemos algo más complicado y a la vez manteniendo $f(x)$ atrapado entre el $g(x) = x$ $h(x) =x+x^2.$ al hacerlo se nos garantiza $f'(1)=1.$

En el intervalo de $I_n =(1/(n+1),1/n)$ definir $f$ a la igualdad de la línea a través de $(1/(n+1), h(1/(n+1))$ $(1/n,g(1/n)).$ $f(I_n) = (h(1/(n+1),g(1/n)).$ Compruebe que $f$ entre $g$ $h$ en cada una de las $I_n.$ También observe que los intervalos de $f(I_n)$ tienen lagunas betweem ellos. Por ejemplo $f(I_1) = (3/4,1),$ $f(I_2) = (4/9,1/2).$

Así que hemos definido a $f$ $(-1,1).$ Ahora hay un bijection de $[1,2)$ a todas las mencionadas lagunas, yo. e., en $(0,1)\setminus \cup_{n=1}^{\infty}f(I_n).$ Definir $f$ a ser este bijection en $[1,2).$

A continuación, $f$ mapas de $(-1,2)$ bijectively en $(-1,1),$ $f(0)=0,$ $f'(0) = 1,$ pero $f^{-1}$ no ser continua en $0$ (porque hay secuencias de $\to 0^+$ que $f^{-1}$ envía a $[1,2)$).

Answer 2

Después de algunas reflexiones y discusiones, he llegado a la lamentable darse cuenta que tal función ($f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ un diferenciable bijection, $f'>0$ WLOG (que es equivalente a $f' \neq 0$ porque de Darboux del valor medio teorema), $f^{-1}$ no en todas partes-diferenciable), no existe, por más bien un motivo trivial.

Si $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fueron una diferenciable bijection, sería un continuo bijection, y por lo tanto por la invariancia de dominio teorema, $f^{-1}$ también es continua en todos los de $\mathbb{R}$, por lo que todas las condiciones de la inversa de la función por el teorema se cumplen, por lo tanto, $f^{-1}$ es diferenciable en todas partes.

PS: no estoy promocionando mi cuerno por responder a mi propia pregunta, y zhw la respuesta es más simple que la mía y correcta, así que he aceptado. Me acaba de pasar para que los escriban en el mismo tiempo que ellos.