Paridad de pares e impar en las pruebas

Question

La idea de la paridad es muy importante en una variedad de ramas de las matemáticas. Específicamente, estoy en busca de pruebas de que el uso de la paridad en el vs-impar sentido para probar sus puntos.

Por ejemplo, es ilustrativo para mostrar que $\sqrt{2}$ es irracional por la contradicción y suponiendo que no existen relativamente primer enteros $m,n$ donde $n \neq 0$ tal que $\frac{m^2}{n^2} = 2$. Suponiendo que $m^2$ es incluso, se puede llegar a una contradicción. Un argumento similar se aplica al asumir que $m^2$ es impar$.

Otro ejemplo es mostrar que la alternancia de un grupo de incluso permutaciones ($A_n$ dentro $S_n$) es un subgrupo en la composición de las permutaciones. Esa afirmación puede ser extendido para mostrar que el extraño permutaciones de $S_n$ no forman un subgrupo.

Yo no estoy buscando explicaciones de pares/impares funciones o cómo particionar $n$ en distintas par/impar de partes, sino más bien mi pregunta es: ¿Qué pruebas existen de que dependen de la noción de incluso-vs-paridad impar para demostrar sus puntos? Idealmente una respuesta se proporciona una descripción del teorema/prueba o una referencia o una prueba plena de sí mismo.

Answer 1

La paridad de la orden de un número finito de grupo juega un papel enorme en la teoría de grupos finitos!

El Feit-Thompson Teorema se establecieron Burnside la conjetura de que todo no Abelian simple grupo incluso ha pedido.

Hubo numerosas piedras en el camino, y una gran parte de la clasificación de los finitos simples grupos se dedicó a estudiar cómo involuciones (la no-identidad de los elementos de orden dos, garantiza que existe en los grupos de orden, por Cauchy teorema) afectan a la estructura de un grupo; en particular, buscando en lo posible que el centralizador de una involución (al parecer esto es una consecuencia de la Brauer-Fowler Teorema, aunque no veo la conexión).

Uno de esos escalón era de Suzuki CA de papel, que grupos estudiados (que ahora se llama CA grupos) en los que el centralizador de cualquier no-identidad es el elemento Abelian. En este trabajo, Suzuki mostró que cualquier CA con el grupo de orden impar es solucionable, y por lo tanto no es sencillo.

Answer 2

En espacios euclidianos de dimensión incluso, las ondas esféricas tienen bordes de fuga; en impar-dimensional espacios que no lo hacen.

Answer 3

El caso de incluso números perfectos se coloca desde largo ($P=M(M+1)/2$ $M$ un primo de Mersenne). De números perfectos impares está todavía abierto.