Integral gaussiana multivariante sobre reales positivos

Question

La integral gaussiana multivariada sobre el conjunto $\mathbf{R}^n$ tiene solución de forma cerrada

$$P = \int_{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n} \exp \left(-\frac12 \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}\right)\,d\mathbf{x} = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det \mathbf{A}}}$$

donde $\mathbf{A}$ es una matriz de covarianza simétrica positiva-definida.

Sin embargo, necesito resolver la integral para los reales positivos $\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n :\, \mathbf{x}_i \geq 0\ \forall i\}$ sólo y en al menos 6 dimensiones:

$$P = \int_{\{\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n :\, \mathbf{x}_i \geq 0\ \forall i\}} \exp \left(-\frac12 \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}\right)\,d\mathbf{x}$$

Para la diagonal $\mathbf{A}$ con covarianza cero, se ha publicado una solución . Para la covarianza no diagonal, mi enfoque hasta ahora es aplicar transformaciones de coordenadas afines para rotar y reescalar el elipsoide gaussiano en la esfera unitaria ( ver aquí ).

En dos dimensiones, la solución de la integral se reduce entonces a comparar el área encerrada por los ejes de coordenadas positivas transformados (azul) con el área del círculo unitario:

En tres dimensiones, la solución viene dada por la relación entre la superficie de un polígono esférico cerrado y la superficie de la esfera unidad.

En cuatro dimensiones, este enfoque se vuelve bastante complicado y no sé cómo utilizar las fórmulas habituales de exceso esférico para dimensiones superiores.

¿Alguna idea o enfoque alternativo? ¿Existe una función de error multivariante? ¿Algún tratamiento de la media distribución normal multivariante?

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Adición (2018-12-03):

Gracias Przemo por tu solución al problema para $n=2, 3$ . Aunque no tuve problemas para seguir tu derivación en 2D, estoy atascado con la derivación de tu paso intermedio para $n=3$ . He intentado principalmente dos enfoques:

• Completando el cuadrado en una variable, digamos $x$ me deja con $$\int_{\mathbb{R}_+^2} \mathrm{d}y\mathrm{d}z \exp\left(-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{det}\,A_3}{\mathrm{det}\,A_2}z^2\right) \exp\left(-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{det}\, A_2}{a}(y-m z)^2\right) \left[1 - \mathrm{erf}\left(\frac{a_{12}y+a_{13}z}{\sqrt{2a}}\right) \right] $$ donde $A_2=\begin{pmatrix} a & a_{12}\\ & b\end{pmatrix}$ , $A_3$ tal y como lo ha definido, y $m$ es una función de los coeficientes de las matrices. Sin embargo, no sé cómo proceder a partir de ahí: expandir la función de error para hacer la integral en y, por ejemplo, es una pesadilla debido al término constante en z; tampoco encontré la manera de hacer una transformación de coordenadas à la $s=a_{12}y+a_{13}z$ o algo similar.

• Efectivamente, tu solución intermedia parece más bien que has podido completar el cuadrado en dos de las variables de forma independiente; pero ¿qué ha pasado con el término cruzado? No puedo encontrar una factorización del exponente que me permita completar dos integrales sobre la semirrecta con una sola variable en la función de error producida por la integral.

Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Calculemos el resultado en el caso $n=2$ . Aquí la matriz se lee $A=\left(\begin{array}{rr}a & c\\c& b\end{array}\right)$ Por lo tanto, tenemos: \begin{eqnarray} P&=& \int\limits_{{\mathbb R}_+^2} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\sqrt{a}(s_1+\frac{c}{a} s_2)\right]^2 -\frac{1}{2} \frac{b a-c^2}{a} s_2^2\right\} ds_1 ds_2\\ &=&\frac{1}{\sqrt{a}} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \int\limits_0^\infty erfc\left(\frac{c}{\sqrt{a}} \frac{s_2}{\sqrt{2}} \right)\exp\left\{-\frac{1}{2}(\frac{b a-c^2}{a})s_2^2 \right\}ds_2\\ &=&\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{b a-c^2}} \int\limits_0^\infty erfc(\frac{c}{\sqrt{b a-c^2}} \frac{s_2}{\sqrt{2}}) e^{-\frac{1}{2} s_2^2} ds_2\\ &=& \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{b a-c^2}} \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}- \sqrt{\frac{2}{\pi}} \arctan(\frac{c}{\sqrt{b a-c^2}})\right)\\ &=& \frac{1}{\sqrt{b a-c^2}} \arctan(\frac{\sqrt{b a-c^2}}{c}) \end{eqnarray} En la línea superior completamos la primera variable de integración a un cuadrado y en la segunda línea integramos sobre esa variable. En la tercera línea cambiamos las variables en consecuencia . En la cuarta línea integramos sobre la segunda variable escribiendo $erfc() = 1- erf()$ y luego expandimos la función de error en una serie de Taylor e integramos término por término y finalmente en la última línea simplificamos el resultado.

Ahora, haciendo cálculos similares obtuvimos el siguiente resultado en el caso $n=3$ . Aquí $A=\left(\begin{array}{rrr}a & a_{12} & a_{13}\\a_{12}& b&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&c\end{array}\right)$ .

En primer lugar tenemos: \begin{eqnarray} &&\vec{s}^{(T)}.(A.\vec{s}) = \\ &&\left(\sqrt{a} ( s_1 + \frac{a_{1,2} s_2 + a_{1,3} s_3}{a} )\right)^2 + \left( b- \frac{a_{1,2}^2}{a}\right) s_2^2 + \left(c-\frac{a_{1,3}^2}{a}\right) s_3^2 + 2 \left(a_{2,3}-\frac{a_{1,2} a_{1,3} }{a}\right) s_2 s_3 \end{eqnarray} Por lo tanto, la integración sobre $s_1$ da: \begin{eqnarray} &&P=\sqrt{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \\ &&\int\limits_{{\bf R}^2} \text{erfc}\left(\frac{a_{1,2} s_2+a_{1,3} s_3}{\sqrt{2} \sqrt{a}}\right) \cdot \\ &&\exp \left[ -\frac{1}{2} \left(s_2^2 \left(b-\frac{a_{1,2}^2}{a}\right)+2 s_2 s_3 \left(a_{2,3}-\frac{a_{1,2} a_{1,3}}{a}\right)+s_3^2 \left(c-\frac{a_{1,3}^2}{a}\right)\right) \right] ds_2 ds_3=\\ && \frac{\sqrt{\pi }}{a_{1,2}} \int\limits_0^\infty \text{erfc}(u) \cdot \exp\left[-\frac{1}{2}u^2 (\frac{2 a b}{a_{1,2}^2} - 2)\right]\\ && \int\limits_0^{\frac{\sqrt{2 a}}{a_{1,3}} u} \exp \left[-\frac{1}{2} \left(s_3 u\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{a} }{a_{1,2}} \left(a_{2,3}-\frac{b a_{1,3}}{a_{1,2}}\right)+ s_3^2\frac{a_{1,3} }{a_{1,2}} \left(\frac{a_{1,3} b}{a_{1,2}}+\frac{a_{1,2} c}{a_{1,3}}-2 a_{2,3}\right)\right)\right] ds_3 du \end{eqnarray} Ahora está claro que podemos hacer la integral sobre $s_3$ en el sentido de que podemos expresarlo mediante una diferencia de funciones de error.Denotemos $\delta:=-2 a_{1,2} a_{1,3} a_{2,3} +a_{1,3}^2 b +a_{1,2}^2 c$ . Entonces tenemos

\begin{eqnarray} &&P=\frac{\pi}{\sqrt{2}\sqrt{\delta}} \cdot\int\limits_0^\infty erfc(u) \left( erf\left[\frac{\sqrt{a}(-a_{1,3} a_{2,3}+a_{1,2} c)}{a_{1,3} \sqrt{\delta}} u \right] - erf\left[ \frac{\sqrt{a}(a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} b)}{a_{1,2} \sqrt{\delta}} u \right]\right) e^{-\frac{\det(A) }{\delta} u^2} du=\\ &&\frac{\pi}{\sqrt{2 \det(A)}}\cdot \\ && \int\limits_0^\infty erfc\left(u \sqrt{\frac{\delta}{\det(A)}}\right)e^{-u^2}\cdot \\ &&\left(-erfc(\sqrt{a} \frac{(-a_{13}a_{23}+a_{12} c)}{a_{13} \sqrt{\det(A)}} u)+erfc(\sqrt{a} \frac{(a_{12}a_{23}-a_{13} b)}{a_{12} \sqrt{\det(A)}} u)\right) du \\ &&=\sqrt{\frac{\pi}{2 \det(A)}}\\ \left[\right.\\ &&-\arctan\left(\frac{a_{13} \sqrt{\det(A)}}{\sqrt{a}(-a_{13}a_{23}+a_{12} c)}\right)+ \arctan\left(\frac{\sqrt{c} \sqrt{\det(A)}}{-a_{13} a_{23} + a_{12} c}\right) \\ &&+\arctan\left(\frac{a_{12} \sqrt{\det(A)}}{\sqrt{a} (a_{12} a_{23} - a_{13} b)}\right)-\arctan\left(\frac{\sqrt{b} \sqrt{\det(A)}}{a_{12} a_{23} - a_{13} b}\right) \left. \right]\\ &&=\sqrt{\frac{\pi}{2 \det(A)}}\\ &&\left[\right.\\ &&\left. \arctan\left(\frac{(a_{1,3}-\sqrt{a_{1,1}a_{3,3}})(a_{1,3}a_{2,3}-a_{1,2}a_{3,3})}{\sqrt{a_{1,1}} (a_{1,3}a_{2,3}-a_{1,2}a_{3,3})^2+a_{1,3} \sqrt{a_{3,3}} \det(A) }\sqrt{\det(A)}\right)+\right.\\ &&\left. \arctan\left(\frac{(a_{1,2}-\sqrt{a_{1,1}a_{2,2}})(a_{1,2}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,2})}{\sqrt{a_{1,1}} (a_{1,2}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,2})^2+a_{1,2} \sqrt{a_{2,2}} \det(A) }\sqrt{\det(A)}\right) \right] \end{eqnarray} donde en la última línea hemos utilizado Una integral con funciones de error y una gaussiana .

También incluyo un fragmento de código de Mathematica que verifica todos los pasos involucrados:

(*3d*)
A =.; B =.; CC =.; A12 =.; A23 =.; A13 =.;
For[DDet = 0, True, ,
    {A, B, CC, A12, A23, A13} = 
   RandomReal[{0, 1}, 6, WorkingPrecision -> 50];
           DDet = Det[{{A, A12, A13}, {A12, B, A23}, {A13, A23, CC}}];
     If[DDet > 0, Break[]];
  ];
a = Sqrt[(-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC)/DDet];
{b1, b2} = {( Sqrt[A]  (-A13 A23 + A12 CC))/ Sqrt[DDet], ( 
   Sqrt[A] (A12 A23 - A13 B))/ Sqrt[DDet]};
{AA1, AA2} = {2 Sqrt[2] Sqrt[
    A] (( A23 A12 - A13 B)/A12^2), (-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + 
    A12^2 CC)/A12^2};

{DDet, a, b1, b2};
NIntegrate[
 Exp[-1/2 (A s1^2 + B s2^2 + CC s3^2 + 2 A12 s1 s2 + 2 A23 s2 s3 + 
     2 A13 s1 s3)], {s1, 0, Infinity}, {s2, 0, Infinity}, {s3, 0, 
  Infinity}]
NIntegrate[
 Exp[-1/2 ((Sqrt[A] (s1 + (A12 s2 + A13 s3)/A))^2 + (B - 
        A12^2/A) s2^2 + (CC - A13^2/A) s3^2 + 
     2 (A23 - A12 A13/A) s2 s3)], {s1, 0, Infinity}, {s2, 0, 
  Infinity}, {s3, 0, Infinity}]
NIntegrate[
 1/Sqrt[A] Sqrt[
   Pi/2] Erfc[(A12 s2 + A13 s3)/
    Sqrt[2 A]] Exp[-1/
     2 ((B - A12^2/A) s2^2 + (CC - A13^2/A) s3^2 + 
      2 (A23 - A12 A13/A) s2 s3)], {s2, 0, Infinity}, {s3, 0, 
  Infinity}]
 Sqrt[Pi]/A12 NIntegrate[  
  Erfc[u] Exp[-1/
      2 ( A13/A12 (-2 A23 + (A13 B)/A12 + CC A12/A13) s3^2 + (
        2 Sqrt[2] Sqrt[A] )/
        A12 ( A23 - ( A13 B)/A12) s3 u + (-2 + (2 A B)/
          A12^2) u^2)], {u, 0, Infinity}, {s3, 0, Sqrt[2 A]/A13 u}]
 Sqrt[Pi]/A12 NIntegrate[  
  Erfc[u] Exp[-1/2 (Sqrt[AA2] s3 + u/2 AA1/Sqrt[AA2])^2] Exp[-((
     DDet u^2)/(-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC))], {u, 0, 
   Infinity}, {s3, 0, Sqrt[2 A]/A13 u}]
 Sqrt[Pi]/(A12 Sqrt[AA2])
  NIntegrate[  
  Erfc[u] Exp[-1/2 (s3)^2] Exp[-((
     DDet u^2)/(-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC))], {u, 0, 
   Infinity}, {s3, 
   u/2 AA1/Sqrt[AA2], ((A13 AA1 + 2 AA2 Sqrt[2] Sqrt[A]) u)/(
   2 A13 Sqrt[AA2])}]
 Sqrt[Pi]/(A12 Sqrt[AA2]) Sqrt[\[Pi]/2]
  NIntegrate[  
  Erfc[u] ( 
    Erf[(A13 AA1 + 2 AA2 Sqrt[2] Sqrt[A])/(2 A13 Sqrt[2] Sqrt[AA2])
        u] - Erf[AA1/(2 Sqrt[2] Sqrt[AA2]) u]) Exp[-((
     DDet u^2)/(-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC))], {u, 0, 
   Infinity}]
 Pi/Sqrt[-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC] Sqrt[1/2]
  NIntegrate[  
  Erfc[u] ( 
    Erf[( Sqrt[A] (-A13 A23 + A12 CC) u)/(
      A13 Sqrt[-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC])] - 
     Erf[(Sqrt[A] (A12 A23 - A13 B) u)/(
      A12 Sqrt[-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC])]) Exp[-((
     DDet u^2)/(-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + A12^2 CC))], {u, 0, 
   Infinity}]
Pi/ Sqrt[-2 A12 A13 A23 + A13^2 B + 
   A12^2 CC] Sqrt[1/2] a NIntegrate[  
  Erfc[a u] ( 
    Erf[( Sqrt[A] (-A13 A23 + A12 CC) u)/(A13 Sqrt[DDet])] - 
     Erf[(Sqrt[A] (A12 A23 - A13 B) u)/(A12 Sqrt[DDet])]) Exp[- 
     u^2], {u, 0, Infinity}]
Pi/Sqrt[2 DDet] NIntegrate[(Erfc[u a]) Exp[-u^2] (Erf[b1/A13 u] - 
     Erf[b2/A12 u]), {u, 0, Infinity}]
Sqrt[Pi]/Sqrt[
  2 DDet] (ArcTan[ Sqrt[A]/A13   (-A13 A23 + A12 CC)/ Sqrt[DDet]] - 
   ArcTan[1/ Sqrt[CC]    (-A13 A23 + A12 CC)/ Sqrt[DDet]] - 
   ArcTan[ Sqrt[A]/A12  (A12 A23 - A13 B)/ Sqrt[DDet]] + 
   ArcTan[ 1/Sqrt[B]   (A12 A23 - A13 B)/ Sqrt[DDet]])
-(Sqrt[Pi]/
  Sqrt[2 DDet]) (ArcTan[(A13 Sqrt[DDet])/(
    Sqrt[A] (-A13 A23 + A12 CC))] - 
   ArcTan[(Sqrt[CC] Sqrt[DDet])/(-A13 A23 + A12 CC)] - 
   ArcTan[(A12 Sqrt[DDet])/(Sqrt[A] (A12 A23 - A13 B))] + 
   ArcTan[(Sqrt[B] Sqrt[DDet])/(A12 A23 - A13 B)])
Sqrt[Pi]/Sqrt[
  2 DDet] (ArcTan[((A13 - Sqrt[A] Sqrt[CC]) (A13 A23 - A12 CC) Sqrt[
     DDet])/(Sqrt[A] (A13 A23 - A12 CC)^2 + A13 Sqrt[CC] DDet)] + 
   ArcTan[((A12 - Sqrt[A] Sqrt[B]) (A12 A23 - A13 B) Sqrt[DDet])/(
    Sqrt[A] (A12 A23 - A13 B)^2 + A12 Sqrt[B] DDet)])

Actualización: Ahora echemos un vistazo a la $n=4$ caso. Aquí: \begin{equation} {\bf A}=\left( \begin{array}{rrrr} a & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{1,2} & b & a_{2,3} & a_{2,4} \\ a_{1,3} & a_{2,3} & c & a_{3,4} \\ a_{1,4} & a_{2,4} & a_{3,4} & d \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación}

entonces haciendo básicamente los mismos cálculos que a arriba logramos reducir la integral en cuestión a una integral bidimensional siguiente. Tenemos: \begin{eqnarray} &&P= \\ &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\frac{\pi}{\sqrt{2 \delta}} \int\limits_0^\infty \int\limits_0^{\frac{\sqrt{2 a}}{a_{1,2}} u} erfc[u] \cdot \exp\left[\frac{{\mathfrak A}_{0,0} u^2 + {\mathfrak A}_{1,0} u s_2 +{\mathfrak A}_{1,1} s_2^2}{2 \delta}\right] \cdot \left( erf[\frac{{\mathfrak B}_1 u + {\mathfrak B}_2 s_2}{a_{1,3} \sqrt{2 \delta}}] + erf[\frac{{\mathfrak C}_1 u + {\mathfrak C}_2 s_2}{a_{1,4} \sqrt{2 \delta}}]\right) d s_2 du=\\ &&\frac{2 \imath \pi^{3/2}}{\sqrt{{\mathfrak A}_{1,1}}} \int\limits_0^\infty erfc[u] \exp\{\frac{4 {\mathfrak A}_{0,0} {\mathfrak A}_{1,1} - {\mathfrak A}_{1,0}^2}{8\delta {\mathfrak A}_{1,1}} u^2\}\cdot\\ && \left[\right.\\ &&\left. \left.T\left(\frac{({\mathfrak A}_{1,0}+\xi) u}{2\imath \sqrt{{\mathfrak A}_{1,1} \delta}}, \frac{\imath {\mathfrak B}_2}{a_{1,3} \sqrt{{\mathfrak A}_{1,1}}},\frac{u(2{\mathfrak A}_{1,1} {\mathfrak B}_1 - {\mathfrak A}_{1,0} {\mathfrak B}_2)}{2\sqrt{\delta} a_{1,3} {\mathfrak A}_{1,1}}\right)\right|_{\frac{2{\mathfrak A}_{1,1} \sqrt{2 a}}{a_{1,2}}}^0 +\right.\\ &&\left. \left.T\left(\frac{({\mathfrak A}_{1,0}+\xi) u}{2\imath \sqrt{{\mathfrak A}_{1,1} \delta}}, \frac{\imath {\mathfrak C}_2}{a_{1,3} \sqrt{{\mathfrak A}_{1,1}}},\frac{u(2{\mathfrak A}_{1,1} {\mathfrak C}_1 - {\mathfrak A}_{1,0} {\mathfrak C}_2)}{2\sqrt{\delta} a_{1,3} {\mathfrak A}_{1,1}}\right)\right|_{\frac{2{\mathfrak A}_{1,1} \sqrt{2 a}}{a_{1,2}}}^0 +\right.\\ &&\left. \right] du \quad (i) \end{eqnarray} donde $T(\cdot,\cdot,\cdot)$ es la función T generalizada de Owen Función T de Owen generalizada y \begin{eqnarray} \delta&:=&a_{1,3}(a_{1,3} d-a_{1,4} a_{3,4}) + a_{1,4}(a_{1,4} c- a_{1,3} a_{3,4})\\ {\mathfrak A}_{0,0}&:=&2 a \left(a_{3,4}^2-c d\right)+2 a_{1,4} (a_{1,4} c-a_{1,3} a_{3,4})+2 a_{1,3} (a_{1,3} d-a_{1,4} a_{3,4})\\ {\mathfrak A}_{1,0}&:=&2 \sqrt{2} \sqrt{a} \left(a_{1,2} \left(c d-a_{3,4}^2\right)+a_{1,3} (a_{2,4} a_{3,4}-a_{2,3} d)+a_{1,4} (a_{2,3} a_{3,4}-a_{2,4} c)\right)\\ {\mathfrak A}_{1,1}&:=&a_{1,2}^2 \left(a_{3,4}^2-c d\right)+2 a_{1,2} a_{1,3} (a_{2,3} d-a_{2,4} a_{3,4})+2 a_{1,2} a_{1,4} (a_{2,4} c-a_{2,3} a_{3,4})+a_{1,3}^2 \left(a_{2,4}^2-b d\right)+2 a_{1,3} a_{1,4} (a_{3,4} b-a_{2,3} a_{2,4})+a_{1,4}^2 \left(a_{2,3}^2-b c\right)\\ \hline\\ {\mathfrak B}_1&:=&\sqrt{2} \sqrt{a} (a_{1,4} c-a_{1,3} a_{3,4})\\ {\mathfrak B}_2&:=&a_{1,2} (a_{1,3} a_{3,4}-a_{1,4} c)+a_{1,3} (a_{1,4} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,4})\\ {\mathfrak C}_1&:=&\sqrt{2} \sqrt{a} (a_{1,3} d-a_{1,4} a_{3,4})\\ {\mathfrak C}_2&:=&a_{1,2} (a_{1,4} a_{3,4}-a_{1,3} d)+a_{1,4} (a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3}) \end{eqnarray}

nu = 4; Clear[T]; Clear[a]; x =.;
(*a0.dat, a1.dat or a2.dat*)
mat = << "a0.dat";
{a, b, c, d, a12, a13, a14, a23, a24, a34} = {mat[[1, 1]], 
   mat[[2, 2]], mat[[3, 3]], mat[[4, 4]], mat[[1, 2]], mat[[1, 3]], 
   mat[[1, 4]], mat[[2, 3]], mat[[2, 4]], mat[[3, 4]]};
{dd, A00, A10, 
   A11} = {-2 a13 a14 a34 + a14^2 c + a13^2 d, -4 a13 a14 a34 + 
    2 a a34^2 + 2 a14^2 c + 2 a13^2 d - 2 a c d, 
   2 Sqrt[2] Sqrt[a] a14 a23 a34 + 2 Sqrt[2] Sqrt[a] a13 a24 a34 - 
    2 Sqrt[2] Sqrt[a] a12 a34^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[a] a14 a24 c - 
    2 Sqrt[2] Sqrt[a] a13 a23 d + 2 Sqrt[2] Sqrt[a] a12 c d, 
   a14^2 a23^2 - 2 a13 a14 a23 a24 + a13^2 a24^2 - 
    2 a12 a14 a23 a34 - 2 a12 a13 a24 a34 + a12^2 a34^2 + 
    2 a13 a14 a34 b + 2 a12 a14 a24 c - a14^2 b c + 2 a12 a13 a23 d - 
    a13^2 b d - a12^2 c d};
{B1, B2, C1, 
   C2} = {Sqrt[2] Sqrt[
    a] (-a13 a34 + a14 c), (a13 a14 a23 - a13^2 a24 + a12 a13 a34 - 
     a12 a14 c), 
   Sqrt[2] Sqrt[
    a] (-a14 a34 + a13 d), (-a14^2 a23 + a13 a14 a24 + a12 a14 a34 - 
     a12 a13 d)};
NIntegrate[
 Exp[-1/2 Sum[mat[[i, j]] s[i] s[j], {i, 1, nu}, {j, 1, nu}]], 
 Evaluate[Sequence @@ Table[{s[eta], 0, Infinity}, {eta, 1, nu}]]]
Sqrt[\[Pi]/(2 a)]
  NIntegrate[ 
  Erfc[(a12 s[2] + a13 s[3] + a14 s[4])/Sqrt[
    2 a]] Exp[-1/
      2 ((-(a12^2/a) + b) s[2]^2 + (-(a13^2/a) + c) s[
         3]^2 + (-(a14^2/a) + d) s[4]^2 + 
       2 (-(( a13 a14)/a) + a34) s[3] s[4] + 
       2 (-(( a12 a13)/a) + a23) s[2] s[3] + 
       2 (-(( a12 a14)/a) + a24) s[2] s[4])], 
  Evaluate[Sequence @@ Table[{s[eta], 0, Infinity}, {eta, 2, nu}]]]

Sqrt[\[Pi]]
  1/a14 NIntegrate[ 
  Erfc[u] Exp[(
     2 a14 a24 s[2] (-Sqrt[2] Sqrt[a] u + a12 s[2]) - 
      d (2 a u^2 - 2 Sqrt[2] Sqrt[a] a12 u s[2] + a12^2 s[2]^2) + 
      a14^2 (2 u^2 - b s[2]^2))/(
     2 a14^2) + ((Sqrt[2] Sqrt[
         a] (-a14 a34 + a13 d) u + (-a14^2 a23 + a13 a14 a24 + 
           a12 a14 a34 - a12 a13 d) s[2]) s[3])/
     a14^2 - ((-2 a13 a14 a34 + a14^2 c + a13^2 d) s[3]^2)/(
     2 a14^2)], {u, 0, Infinity}, {s[2], 0, 
   Sqrt[2] Sqrt[a]/a12 u}, {s[3], 0, (Sqrt[2 a] u - a12 s[2])/a13}]
 Pi/Sqrt[2 dd]
  NIntegrate[ 
  Erfc[u] Exp[(A00 u^2 + A10 u s[2] + A11 s[2]^2)/(
    2 (dd))]  (Erf[(B1 u + B2 s[2])/( a13 Sqrt[2 dd])] + 
     Erf[(C1 u + C2 s[2])/( a14^1 Sqrt[2 dd])]), {u, 0, 
   Infinity}, {s[2], 0, Sqrt[2] Sqrt[a]/a12 u}]

Ahora, voy a proporcionar el resultado. Tenga en cuenta que las únicas suposiciones sobre la matriz subyacente ${\bf A}$ son que sea simétrica y que sus elementos sean no negativos. En primer lugar definamos: \begin{eqnarray} &&{\mathfrak J}^{(1,1)}(a,b,c)= \frac{1}{\pi^2}\cdot \left(\right.\\ &&\left. -\frac{1}{8} \sum\limits_{i=1}^4 \sum\limits_{j=1}^4 (-1)^{j-1+\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor } % {\mathfrak F}^{(1,\frac{\sqrt{1+2 a^2+b^2} - \sqrt{2} a}{\sqrt{1+b^2}})}_{\frac{i \sqrt{b^2 c^2+b^2+1} (-1)^{\left\lfloor \frac{j-1}{2}\right\rfloor }+i b c (-1)^j}{\sqrt{b^2+1}},-\frac{b (-1)^i+i (-1)^{\left\lceil \frac{i-1}{2}\right\rceil }}{\sqrt{b^2+1}}} % \right. \\ &&\left. \right)\quad (ii) \end{eqnarray} donde ${\mathfrak F}^{(A,B)}_{a,b}$ está relacionado con los di-logaritmos y se define en Una integral que incluye una gaussiana, funciones de error y la función T de Owen. . A continuación, definimos otra función como la siguiente \begin{equation} {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}(a,b,c):= \frac{\pi}{2} \arctan\left[ \frac{\sqrt{2 a} c}{\sqrt{2 a+b^2(1+c^2)}}\right] - \frac{\pi}{2} \arctan\left[ c\right] - 2 \pi^2 {\mathfrak J}^{(1,1)}(\frac{1}{\sqrt{2 a}},\frac{b}{\sqrt{2 a}},c) \end{equation} y luego las siguientes cantidades que dependen de la matriz subyacente. Tenemos: \begin{eqnarray} \delta&:=& a_{3,3} a_{4,1}^2 - 2 a_{3,1} a_{3,4} a_{4,1} + a_{4,4} a_{3,1}^2\\ W&:=&\left(a_{3,3} a_{4,4}-a_{3,4}^2\right) a_{1,2}^2+2 a_{1,4} (a_{2,3} a_{3,4}-a_{2,4} a_{3,3}) a_{1,2}+2 a_{1,3} (a_{2,4} a_{3,4}-a_{2,3} a_{4,4}) a_{1,2}+a_{1,4}^2 \left(a_{2,2} a_{3,3}-a_{2,3}^2\right)+2 a_{1,3} a_{1,4} (a_{2,3} a_{2,4}-a_{2,2} a_{3,4})+a_{1,3}^2 \left(a_{2,2} a_{4,4}-a_{2,4}^2\right)\\ W_1&:=&2 \sqrt{a_{1,1}} \left(a_{1,4} (a_{2,4} a_{3,3}-a_{2,3} a_{3,4})+a_{1,3} (a_{2,3} a_{4,4}-a_{2,4} a_{3,4})+a_{1,2} \left(a_{3,4}^2-a_{3,3} a_{4,4}\right)\right)\\ % v_1&:=&\frac{1}{a_{4,1} \sqrt{\delta}} \left( \sqrt{a_{1,1}}(a_{3,4} a_{4,1} - a_{3,1} a_{4,4}),-a_{2,4} a_{3,1} a_{4,1} + a_{2,3} a_{4,1}^2+a_{2,1}(-a_{3,4} a_{4,1}+a_{3,1}a_{4,4})\right)\\ v_2&:=&-\frac{1}{a_{3,1} \sqrt{\delta}} \left(\sqrt{a_{1,1}}(a_{3,4} a_{3,1} - a_{4,1} a_{3,3}),-a_{3,1} a_{3,2} a_{4,1} +a_{2,4} a_{3,1}^2 + a_{2,1}(-a_{3,4} a_{3,1}+a_{4,1}a_{3,3}) \right)\\ % \left( A, B \right)&:=& \frac{1}{\delta} \left( W,W_1 \right)\\ \left( {\bf a}_1,{\bf a}_2 \right)&:=& \frac{1}{\sqrt{A}} \left(v_1(2),v_2(2) \right)\\ {\bf b}_1&:=& \sqrt{2} v_1(1) - \frac{B}{\sqrt{2} A} v_1(2)\\ {\bf b}_2&:=& \sqrt{2} v_2(1) - \frac{B}{\sqrt{2} A} v_2(2)\\ x&:=& \frac{\sqrt{a_{1,1}}}{a_{2,1}} \end{eqnarray} Entonces el resultado se lee: \begin{eqnarray} &&P=\frac{1}{\det({\bf A})} \left(\right.\\ % && {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{B}{\sqrt{2 A}},{\bf a}_2+\frac{\sqrt{2 A} {\bf b}_2}{B}\right) - {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{B+2 A x}{\sqrt{2 A}},{\bf a}_2+\frac{\sqrt{2 A} {\bf b}_2}{B+2 A x}\right)+\\ &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{{\bf b}_2}{\sqrt{1+{\bf a}_2^2}},{\bf a}_2+\frac{B(1+{\bf a}_2^2)}{\sqrt{2 A}{\bf b}_2}\right) - {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{{\bf b}_2}{\sqrt{1+{\bf a}_2^2}},{\bf a}_2+\frac{(B+2 A x)(1+{\bf a}_2^2)}{\sqrt{2 A}{\bf b}_2}\right)+\\ % && -{\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{B}{\sqrt{2 A}},{\bf a}_1+\frac{\sqrt{2 A} {\bf b}_1}{B}\right) + {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{B+2 A x}{\sqrt{2 A}},{\bf a}_1+\frac{\sqrt{2 A} {\bf b}_1}{B+2 A x}\right)+\\ &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! -{\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{{\bf b}_1}{\sqrt{1+{\bf a}_1^2}},{\bf a}_1+\frac{B(1+{\bf a}_1^2)}{\sqrt{2 A}{\bf b}_1}\right) + {\bar {\mathfrak J}}^{(1,1)}\left( \frac{\det({\bf A})}{W},\frac{{\bf b}_1}{\sqrt{1+{\bf a}_1^2}},{\bf a}_1+\frac{(B+2 A x)(1+{\bf a}_1^2)}{\sqrt{2 A}{\bf b}_1}\right)\\ % &&\left.\right) \end{eqnarray} Puedo proporcionar un código para probar la expresión anterior si alguien está interesado.

Ahora, en el caso particular de que todos los elementos diagonales de la matriz ${\bf A}$ son iguales a la unidad y todos los términos de las diagonales cruzadas son iguales a $\rho$ donde $0 \le \rho \le 1$ entonces el resultado se lee:

\begin{eqnarray} &&P=\\ &&\frac{2 \pi ^{3/2}}{\sqrt{(1-\rho )^3 (3 \rho +1)}} \left( \frac{\pi -3 \arctan\left(\sqrt{\frac{3 \rho +1}{\rho +1}}\right)}{2 \sqrt{\pi }} +6\sqrt{\pi} {\mathfrak J}^{(1,1)}\left( \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \rho }{\sqrt{(1-\rho ) (3 \rho +1)}},\frac{\sqrt{1-\rho }}{\sqrt{2} \sqrt{(1-\rho ) (3 \rho +1)}},\sqrt{3}\right)\right) \end{eqnarray} A continuación, se representa la cantidad $P$ en función de $\rho$ . Tenga en cuenta que el valor $P(\rho=0) = \pi^2/4 \simeq 2.4674$ tal y como es.

Answer 2

La integral sobre valores positivos (por coordenadas) aparece en el tratamiento de distribuciones gaussianas dicotomizadas Así que puede que encuentres la respuesta a tu problema allí. Las referencias relevantes serían:

• DR Cox, N Wermuth, Biometrika, 2002
• JH Macke, P Berens y otros, Neural Computation, 2009

Answer 3

Otros nombres para esta cantidad son la "distribución acumulativa gaussiana multivariante", la "constante de normalización de la distribución normal truncada", las "probabilidades ortantes no centradas", ...

Parece que hay una literatura bastante extensa sobre esto. Véase, por ejemplo La ley normal bajo restricciones lineales: Simulación y estimación a través de la inclinación de mínimos y muchas citas en ella, como este

Aquí es un documento que tiene expresiones de forma cerrada para las probabilidades de ortantes para $n=4$ bajo diferentes conjuntos de supuestos para la matriz de covarianza.

Actualizaré esta respuesta cuando sepa más sobre el tema

Answer 4

Aquí ofrecemos una respuesta para $n=5$ en caso de que la matriz subyacente ${\bf A}$ tiene la siguiente forma: \begin{eqnarray} {\bf A}= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & a & a b c & a b & a b \\ a & 1 & a b c & a b & a b \\ a b c & a b c & 1 & a b c & a b c \\ a b & a b & a b c & 1 & a \\ a b & a b & a b c & a & 1 \\ \end{array} \(derecha) \N - Fin. donde $a\in(0,1)$ , $b\in(0,1)$ y $c\in(0,1)$

Hemos obtenido el resultado básicamente de la misma manera que en mi respuesta anterior, es decir, llevando primero la forma cuadrática a un cuadrado en una variable e integrando sobre esa variable y luego integrando sucesivamente sobre el resto de las variables y reduciendo la dimensión de la integral. En primer lugar, observemos que la función ${\mathfrak J}^{(1,1)}$ se define como en mi respuesta anterior y entonces definamos también lo siguiente: \begin{equation} {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (a_1,a_2), b, c\right):= \int\limits_0^\infty \frac{e^{-1/2 \xi^2}}{\sqrt{2 \pi}} \cdot [\prod\limits_{j=1}^2 erf(a_j \xi)] \cdot T(b \xi, c) d\xi \end{equation} Esta función siempre se puede reducir a di-logaritmos como se muestra en Una integral que incluye una gaussiana, funciones de error y la función T de Owen. .

Ahora definimos las siguientes cantidades auxiliares: \begin{eqnarray} \delta&:=&2+(1+a-4 a b) c^2\\ \delta_1&:=&1-a+(1+a(1+2 b(-2+a b))) c^2\\ \delta_2&:=&1+a(1+2 b)-4 a^2b^2 c^2\\ \delta_3&:=&1+(1-2 a b)c^2\\ \delta_4^{(-)}&:=&1+a(1-2 b)\\ \delta_4^{(+)}&:=&1+a(1+2 b)\\ \delta_5&:=&1+a(1+a b^2(-2+(-3+a(-1+4 b))c^2))\\ \delta_6&:=&1-a b c^2\\ \hline\\ (A,A_1,A_2)&:=& \left( \frac{c(1-a b)\sqrt{\delta}}{\delta_6 \sqrt{1-a}}, \frac{\sqrt{\delta (1-a)}}{c \delta_4^{(-)}}, \frac{1}{c} \sqrt{\frac{\delta}{1-a}}\right)\\ A_3&:=& \frac{a b \sqrt{(1-a) \delta}}{\sqrt{2 \delta_4^{(-)} \delta_2}}\\ (A_4,A_5)&:=& \left( \frac{\sqrt{2} \sqrt{1-a^2} \delta_6}{\sqrt{\delta_4^{(-)} \delta_2 \delta_3}}, \frac{\sqrt{1+a} \sqrt{\delta_4^{(-)}} c}{\sqrt{\delta_2}} \right)\\ (A_6,A_7,A_8)&:=& \left( \frac{\sqrt{\delta_4^{(-)} \delta_2}}{\sqrt{2 \delta_5}}, \frac{(1-a b) c \sqrt{\delta_4^{(-)} \delta_2}}{\sqrt{\delta_1 \delta_5}}, \frac{\sqrt{\delta_2 (1-a)}}{\sqrt{\delta_4^{(+)} \delta_1}} \right)\\ A_9&:=& \sqrt{\frac{1+a}{1-a}} \end{eqnarray} Entonces el resultado se lee: \begin{eqnarray} &&P=\frac{2^{3/2} \pi}{\sqrt{(1-a)^2 \delta_4^{(m)} \delta_2}} \cdot \left(\right.\\ && \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} \left( -\pi(\arcsin(A_6)+\arcsin(A_7)+\arcsin(A_8)) + (\pi-2 \arcsin(A_6))(\arctan(A)+\arctan(A_1)+\arctan(A_2))\right) + \\ && 2 \pi^{3/2} \left( {\mathfrak J}^{(1,1)}(A_3,\frac{A_4}{\sqrt{2}},A_2) + {\mathfrak J}^{(1,1)}(A_3,\frac{A_5}{\sqrt{2}},A_1) + {\mathfrak J}^{(1,1)}(A_3,\frac{A_4}{\sqrt{2}},A)\right) +\\ && 2 \pi^{3/2} \left( {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (\frac{1}{A_4},\frac{A_2}{\sqrt{2}}),\frac{2 A_3}{A_4}, A_9\right) + {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (\frac{1}{A_4},\frac{A}{\sqrt{2}}),\frac{2 A_3}{A_4}, A_9\right) + {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (\frac{1}{A_5},\frac{A_1}{\sqrt{2}}),\frac{2 A_3}{A_5}, A_9\right) \right)+\\ &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 2 \pi^{3/2} \left( {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (\frac{1}{2 A_3},\frac{A_9}{\sqrt{2}}),\frac{A_4}{2 A_3},A_2\right)+ {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (\frac{1}{2 A_3},\frac{A_9}{\sqrt{2}}),\frac{A_5}{2 A_3},A_1\right)+ {\mathfrak J}^{(2,1)}\left( (\frac{1}{2 A_3},\frac{A_9}{\sqrt{2}}),\frac{A_4}{2 A_3},A\right) \right)\\ \left. \right) \end{eqnarray}

De nuevo, tengo un código para probar esta expresión si alguien está interesado.

Ahora, en el límite $b=c=1$ tenemos $(A,A_1,A_2)=(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})$ , $A_3=\sqrt{3} a/(\sqrt{2+8 a})$ , $(A_4,A_5)=(\sqrt{(1+a)/(1+4 a)},\sqrt{(1+a)/(1+4 a)})$ y $(A_6,A_7,A_8)=(\sqrt{(1+4 a)/(2+6 a)},\sqrt{(1+4 a)/(2+6 a)},\sqrt{(1+4 a)/(2+6 a)})$ y entonces tenemos: \begin{eqnarray} &&P=\frac{2^{3/2} \pi}{\sqrt{(1-a)^4(1+4 a)}}\left(\right.\\ &&\frac{\pi}{2\sqrt{\pi}} \left(\pi - 5 \arcsin(\sqrt{\frac{1+4 a}{2+6 a}}) \right) \\ && 6 \pi^{3/2} {\mathfrak J}^{(1,1)}\left( \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} a }{\sqrt{4 a +1}},\frac{\sqrt{\frac{a +1}{4 a +1}}}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)+\\ && 6 \pi^{3/2} {\mathfrak J}^{(2,1)}\left((\sqrt{\frac{3}{2}},\sqrt{\frac{4 a +1}{a +1}}),\frac{\sqrt{6} a }{\sqrt{a +1}},\frac{a +1}{\sqrt{1-a ^2}} \right)+\\ && 6 \pi^{3/2} {\mathfrak J}^{(2,1)}\left((\frac{\sqrt{4 a +1}}{\sqrt{6} a },\frac{a +1}{\sqrt{2} \sqrt{1-a ^2}}),\frac{\sqrt{a +1}}{\sqrt{6} a },\sqrt{3} \right) \\ \left.\right)\\ \end{eqnarray} A continuación, se representa la cantidad en cuestión en función de $a$ . Tenga en cuenta que el valor $P(a=0)= (\sqrt{\pi}/\sqrt{2})^5 \simeq 3.09243$ tal y como es.