Forma cerrada para el n-ésimo anti-derivado $\log x$

Question

¿Es posible escribir una expresión de forma cerrada con variables libres $x, n$ que representa el n-ésimo anti-derivado $\log x$?

Answer 1

$$\log^{(-n)}x=\frac{x^n}{n!}(\log x-H_n),$ $ $H_n$ Dónde está el número armónico: $H_n=\sum_{k=1}^n k^{-1}=\,$$\gamma$$\,+\,$$\psi$$(n+1)=\gamma+\frac{\Gamma'(n+1)}{n!}$

Prueba: por inducción.

Answer 2

Una manera intuitiva para obtener la fórmula de la respuesta de Vladimir Reshetnikov sin inducción:

Recordemos que $\displaystyle\ln x=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{x^s-1}{s}$. Pero es muy fácil calcular la primitiva de th de $n$de % de $x^s-1$: $$\frac{1}{s}\underbrace{\int\ldots\int}_{n\;\text{times}}(x^s-1)dx=\frac{x^{s+n}}{s(s+1)\ldots(s+n)}-\frac{x^n}{s\cdot n!}=_{s\rightarrow0}\frac{x^n}{n!}\left(\ln x-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right).$ $

Answer 3

Los problemas relacionados con: (I), (II). Aquí es una fórmula unificada para la $n$th derivado y el $n$th anti-derivado de la real orden de $\ln(x)$ en términos de la Meijer G función

$$ G^{1, 2}_{2, 2}\left(x-1\, \Big\vert\,^{1-n, 1-n}_{1-n, 0}\right). $$

La fórmula anterior da

a) los derivados de la real orden si $n>0$,

b) anti-derivados de la real orden si $n<0$.

Uno puede tener la fórmula anterior en términos de la hipergeométrica fórmula

$$ {\frac { \left( t-1 \right) ^{1-n}{\mbox{$_2$F$_1$}(1,1;\,2-n;\,1-x)} }{\Gamma \left( 2-n \right) }},$$

con algunas restricciones en $n$.