¿Que $C\subset \mathbf{P}^2$ una curva de plano liso #% género %#%, $6$ ser un automorphism, se $\sigma\colon C\to C$ induce necesariamente de un automorfismo de $\sigma$?
Respuesta
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Alex
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Creo que el siguiente argumento funciona a través de $\mathbb{C}$.
Deje $\phi \in \text{Aut}(C)$. A continuación,$\phi^* \mathcal{O}(1) \cong \mathcal{O}(1)$. Esto se desprende de M. teorema de Noether: un suave plano de la curva de grado $d$ no $g^1_k$ $k<d-2$ cada $g^1_{d-1}$ es inducida por el lápiz de líneas a través de un punto de la curva y el sistema lineal $|\mathcal{O}(1)|$ es la única $g^2_d$$C$.
Supongamos que $\phi$ actos trivialmente en $H^0(C, \mathcal{O}(1))$ y por lo tanto induce la trivial acción en $\mathbb{P}^2=\mathbb{P}(H^0(C, \mathcal{O}(1))^{\vee})$. Producto de las secciones dar un surjective mapa $$ H^0(C, \mathcal{S}(1)) \otimes H^0(C, \mathcal{S}(1)) \H^0(C, \mathcal{S}(2)). $$
Por eso, $\phi$ actos trivialmente en $H^0(C, \mathcal{O}(2))$, pero por contigüidad fórmula $K_C \cong \mathcal{O}(2)$, luego por la descomposición de Hodge $\phi$ actos trivialmente en $H^1_{DR}(C,\mathbb{C})$. Por lo tanto, el número de Lefschetz $$ L(\phi) = \sum_i (-1)^i \text{tr}(\phi_*| H^i_{DR}(C,\mathbb{C}))=2-2g < 0, $$ que no es posible porque para los complejos colectores de todos los locales de la intersección de los números son positivos.
Por lo tanto, obtenemos un inyectiva mapa $$ i: \text{Aut}(C) \to \mathbb{P}\text{GL}_3(\mathbb{C}). $$
