Demostrar que algo es una incrustación, con y sin uso de fórmulas

Question

Muestran que, para cualquier entero de $n\geq1$, $$S^1\times...\times S^1\subset\mathbb{R}^2\times...\times\mathbb{R}^2=\mathbb{R}^{2n}$ $ puede ser embebido en $\mathbb{R}^{n+1}$. Primero tengo que probarlo sin necesidad de utilizar fórmulas explícitos, entonces por fórmulas explícitos.

Encontrar incrustaciones muy difíciles, que sé la definición, pero no se como trabajar con él, etcétera... ¿Quién me puede ayudar?

Answer 1

Un intento:

Desde un producto compacto Hausdorff espacios es un compacto Hausdorff espacio, vamos a llamar a este espacio de $X$. Entonces sabemos que una imagen de cualquier subconjunto cerrado de $X$ es compacto, y por lo tanto en virtud de un mapa continuo es compacto, y si este mapa continuo es en $\mathbb R$, entonces es cerrado, ya que de nuevo, ya que un subconjunto compacto de $R$ es cerrado. Por lo tanto, mediante la incrustación de lema, todo lo que tenemos que encontrar es una continua inyección en $\mathbb R^{n+1}$, como tal, un mapa de seperate puntos y conjuntos cerrados.

La idea detrás de la función que vamos a utilizar, es este: para $n=1$ simplemente hacemos uso de la identidad, para $n=2$ utilizamos el toro, y para mayor $n$ podemos generalizar este - mantenemos "giro/rotación" de la estructura anterior hemos hecho, pero también vamos a añadir un nuevo eje. Por inducción, podemos encontrar una continua inyección de ${(S^1)}^n$ $\mathbb R^{n+1}$cualquier $n \in \mathbb N$.

En el siguiente texto, vamos a estar considerando el ángulo de determinar el punto en $S^1$$\alpha$, en lugar de las coordenadas de $S^1$$\mathbb R$.

El enfoque para encontrar la continua inyección, en más detalle:

Digamos que tenemos un continuo de inyección de $f:{(S^1)}^n \to \mathbb R^{n+1}$, $f(\alpha_1,...,\alpha_n)=(f_1(\alpha_1,...,\alpha_n),f_2(\alpha_1,...,\alpha_n)...,f_{n+1}(\alpha_1,...,\alpha_n))$.

Definir

$g(\alpha_1,...,\alpha_n,\alpha_{n+1})$

$([f_1(\alpha_1,...,\alpha_n)+A]\cos(\alpha_{n+1}), [f_1(\alpha_1,...,\alpha_n)+A]\sin(\alpha_{n+1}),f_2(\alpha_1,...,\alpha_n),...,f_{n+1}(\alpha_1,...,\alpha_n))$

Donde $A$ es un número, de tal manera que $[f_1(\alpha_1,...,\alpha_n)+A]>B>0$ para todas sus entradas. Ese número existe, porque $f_1(\alpha_1,...,\alpha_n)$ es sólo un polinomio de $\sin$ $\cos$ funciones, por lo que es acotada.

$g$ es claramente continua (de nuevo, es un polinomio de $\sin$$\cos$), por lo que todo lo que queda, es que muestra que se trata de un inyectable: Tomamos $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_{n+1})$ $\beta=(\beta_1,...,\beta_{n+1})$ donde $\alpha \neq \beta$, y por la sencillez definen $\alpha'=(\alpha_1,...,\alpha_{n})$ $\beta'$ analógicamente.

Si $\alpha_{n+1} \neq \beta_{n+1}$, aviso que desde $f_1(\alpha')+A=K$ $f_1(\beta')+A=L$ son positivos, si vamos a obtener un $g(\alpha)=g(\beta)$, tenemos $(*)\cos(\alpha_{n+1}) (\frac{K}{L})=\cos(\beta_{n+1})$$(**)\sin(\alpha_{n+1}) (\frac{K}{L})=\sin(\beta_{n+1})$, por lo que necesitamos entonces $\alpha_{n+1}$ $\beta_{n+1}$ a estar en el mismo cuadrante. Pero si están en el primer cuadrante por ejemplo, observamos que si $\sin(x) > \sin(y)$, se obtiene necesariamente que $\cos(x) < \cos(y)$ - y por eso no puede suceder que tanto $(*)$ $(**)$ podría ser verdaderas al mismo tiempo, como $\alpha_{n+1} \neq \beta_{n+1}$. Por lo tanto,$g(\alpha)\neq g(\beta)$.

Si $\alpha_{n+1} =\beta_{n+1}$, $\alpha_i \neq \beta_i$ algunos $i$ tal que $1 \leq i \leq n$, y desde ya podemos suponer que $f$ es una inyección, esto significa que $g(\alpha)\neq g(\beta)$, como si $i \neq 1$ obtenemos $g(\alpha)\neq g(\beta)$ directamente de $f(\alpha')\neq f(\beta')$ , y si $i=1$, al menos uno de $\cos(\alpha_{n+1})$ o $\sin(\alpha_{n+1})$ no es cero, como $f_1(\alpha') \neq f_1(\beta')$, y así también conseguimos que $g(\alpha)\neq g(\beta)$.

Por lo tanto, $g$ es una inyección.