Orden de integración - región delimitada por las funciones trigonométricas

Question

Considere la siguiente integral:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\int_{\cos(x)}^{\sin(x)}dydx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\left(\sin(x)-\cos(x)\right)dx=\left[-\cos(x)-\sin(x)\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}=2\sqrt{2}$$

Me gustaría como para cambiar el orden de integración. Me he roto la región limitada por las funciones trigonométricas en 5 subregiones con el fin de evitar la integración a través de un intervalo que se divide cualquier particular, la definición de las funciones inversas. Sé que algunos de simetría podría ayudar a simplificar los cálculos, pero no ayuda con mi malentendido:

1) $\arccos(y)\leq x\leq\arcsin(y)\qquad -\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad$ $y$ es la disminución de la

2) $\arcsin(y)\leq x\leq \frac{\pi}{2} \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq 1\qquad$ $y$ es el aumento de

3) $\frac{\pi}{2}\leq x\leq\arcsin(y) \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\leq y \leq 1\qquad$ $y$ es la disminución de la

4) $\arccos(y)\leq x\leq \pi \qquad -1\leq y\leq-\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad$ $y$ es la disminución de la

5) $\pi\leq x\leq\arccos(y)\qquad -1\leq y\leq-\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad$ $y$ es el aumento de

Trabajando a través de este problema he tratado de razonar con miras a aumentar o disminuir $y$ en términos de aumento de $x$. Esto parece funcionar en todas las regiones, pero, 4) y 5). Hay un cambio de signo que yo no puede tener en cuenta. Así que tengo el siguiente correspondiente integrales para el $dxdy$ integración orden:

1) $ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{-1}{\sqrt{2}}}\int_{\arccos(y)}^{\arcsin(y)}dxdy = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

2) $ \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\int_{\arcsin(y)}^{\frac{\pi}{2}}dxdy = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$

3) $ \int_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\arcsin(y)}dxdy = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4\sqrt{2}}$

4) $ \int_{\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{-1}\int_{\arccos(y)}^{\pi}dxdy = -\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4\sqrt{2}}\right)$

5) $ \int_{-1}^{\frac{-1}{\sqrt{2}}}\int_{\pi}^{\arccos(y)}dxdy = -\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4\sqrt{2}}\right)$

Las integrales de 4 y 5 evaluar a menos de sus respectivas áreas. Estoy un poco confundida como para el razonamiento.

Creo que por fin tengo este. La región acotada bajo consideración cruza sobre el dominio de definición tanto de la $\arcsin(y)$$\arccos(y)$. El dominio de definición de estas funciones es:

$-\frac{\pi}{2}\leq arcsin(y)\leq\frac{\pi}{2}\qquad0\leq\arccos(y)\leq\pi$

La forma en que finalmente me di cuenta de lo que estaba sucediendo aquí fue por la investigación de la gráfica de la inversa de las funciones estándar de los dominios y a hacerme la siguiente pregunta:

¿Cómo puedo ampliar continuamente la gráfica de estas inversos para incluir la región acotada?

A partir de esto, uno ve que al multiplicar el $\arcsin(y)$ por -1 y la adición de $\pi$ proporciona una extensión continua que cubre la región acotada. De la misma manera por $\arccos(y)$ multiplicar por -1 y agregar $2\pi$. Con esta visión, la región puede dividirse en 3 subregiones:

1) $\arcsin(y)\leq x\leq\pi-\arcsin(y)\qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq1$

2) $\arccos(y)\leq x\leq\pi-\arcsin(y)\qquad \frac{-1}{\sqrt{2}}\leq y\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$

3) $\arccos(y)\leq x\leq2\pi-\arccos(y)\qquad -1\leq y\leq\frac{-1}{\sqrt{2}}$

El área de la región acotada de la siguiente manera a partir de la integración a través de estos 3 subregiones.

Answer 1

No creo que el da $x$-son los intervalos correctos. E. g., en el seno de la curva de los puntos de con $x>{\pi\over2}$ no satisfacen $x=\arcsin(y)$. También me gustaría sugerir fuertemente a considerar $y$ como un aumento de la variable a lo largo con el fin de evitar signo de errores. Pero empecemos por el principio.

Se considera la integral de ($=: J$) es sobre el dominio $$B:=\bigl\{(x,y)\ \bigm|\ {\pi\over4}\leq x\leq{5\pi\over4},\ \cos x\leq y\leq\sin x\bigr\}$$ en el $(x,y)$-avión, consulte la siguiente figura:

Cambiando el orden de integración significa hacer de la $y$ la variable externa. El exterior de la integral es sobre el $y$-intervalo limitado por $\min\{y\ |\ \exists x:\ (x,y)\in B\}$$\max\{y\ |\ \exists x:\ (x,y)\in B\}$, es decir, en el intervalo de $[{-1},1]$. Para cada una de las $y$ en este intervalo se determina el conjunto de $$B_y:=\{ x\ |\ (x,y)\in B\}$$ obtenido por la intersección de $B$ con una línea horizontal en el nivel $y$. La figura muestra que todos los conjuntos de $B_y$ son intervalos y así se determina por sus extremos $a(y):=\min B_y$$b(y):=\max B_y$.

Mirando la figura vemos que de hecho hay tres regímenes para las funciones de la $a(y)$$b(y)$, que corresponde a la $y$-intervalos $\bigl[{-1},-{1\over\sqrt{2}}\bigr]$, $\ \bigl[{-{1\over\sqrt{2}}},{1\over\sqrt{2}}\bigr]$, y $\bigl[{1\over\sqrt{2}},1\bigr]$. Ser cuidadoso acerca de los dominios de las funciones trigonométricas inversas, obtenemos los siguientes: $$\eqalign{ -1\leq y\leq-{1\over\sqrt{2}}: \qquad &a(y)=\arccos(y),\quad b(y)=2\pi\arccos(y), \cr -{1\over\sqrt{2}}\leq y\leq{1\over\sqrt{2}}: \qquad &a(y)=\arccos(y),\quad b(y)=\pi\arcsin(x), \cr {1\over\sqrt{2}}\leq y\leq1: \qquad &a(y)=\arcsin(x),\quad b(y)=\pi\arcsin(y) \ .\cr}$$ De ello se sigue que la integral de la $J$ ahora se convierte en la siguiente suma de tres integrales: $$J=\int_{-1}^{-1/\sqrt{2}}\int_{\arccos(y)}^{2\pi\arccos(y)} dx\ dy +\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\int_{\arccos(y)}^{\pi\arcsin(y)} dx\ dy + \int_{1/\sqrt{2}}^1\int_{\arcsin(y)}^{\pi\arcsin(y)} dx\ dy \ .$$