Argumento alternativo - problema de teoría de conjuntos

Question

Traté de resolver el siguiente problema:

Deje $ \mathcal{F}$ ser una familia no vacía de conjuntos con la siguiente propiedades:

(a) Si $ X \in \mathcal{F}$, entonces hay algunas $ Y \in \mathcal{F}$ y $ Z \in \mathcal{F}$ tal que $ Y \cap Z =\emptyset$$ Y \cup Z=X$.

(b) Si $ X \in \mathcal{F}$, e $ Y \cup Z =X , Y \cap Z=\emptyset$, a continuación, cualquiera de $ Y \in \mathcal{F}$ o $ Z \in \mathcal{F}$.

Muestran que hay una disminución de la secuencia $ X_0 \supseteq X_1 \supseteq X_2 \supseteq ...$ de los conjuntos de $ X_n \in \mathcal{F}$ tal que $$\bigcap_{n=0}^{\infty} X_n= \emptyset.$$

(algunos viejos Miklos Schweitzer problema)

Y se me ocurrió la siguiente prueba

Prueba: Supongamos que por cada disminución de la secuencia $(X_n)$ tenemos $\cap X_n \neq \emptyset$. Elegir ahora una disminución de la secuencia arbitraria $(Y_n)$ y denotan $Y= \cap Y_n$. Nos gustaría demostrar que $Y \en \mathcal{F}$. Suppose that $S \noen \mathcal{F}$. Después construimos la secuencia de $ A_n = Y_n\setminus Y $ y nota que desde $Y_n=A_n \cup Y$, por la regla (b) $Y$ o $A_n$$\mathcal{F}$. Supongamos que que $A_n \in \mathcal{F}$ para infinidad de $n$. Luego se llega a un contradicción con el supuesto de hecho, desde $\cap A_n=\cap (Y_n\setminus Y)=(a\cap Y_n) \setminus Y=\emptyset$. Ya que este es falso, tenemos $Y \in \mathcal{F}$.

Ahora hemos terminado, porque sólo hemos probado que cada cadena en $\mathcal{F}$ ordenado por $X \leq Y \Leftrightarrow X \supseteq Y$ ha una cota superior, entonces por el lema de Zorn, $\mathcal{F}$ máxima elementos.

Elegir ahora un elemento maximal $M$. Si no es el conjunto vacío, entonces por la regla (a) puede ser descompuesto en dos partes que están en $\mathcal{F}$ y uno es estrictamente mayor que ella (en la propuesta de el pedido). Por lo tanto, $\emptyset$ es el elemento maximal de $\mathcal{F}$ y hemos terminado ya podemos elegir la secuencia $X_n=\emptyset$.

Es posible llegar a un final en el argumento de que no se utilice la constante secuencia $X_n=\emptyset$?

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Parece que el argumento no es válido en absoluto, ya que no puedo usar el lema de Zorn si sólo tengo la información contable de las cadenas.

Answer 1

Hacia una contradicción asumir por cada descendiente secuencia $\{X_n : n \in \omega \}$ en $\mathcal{F}$, $\bigcap_n X_n$ es no vacío.

Reclamo: Por cada $X \in \mathcal{F}$, hay distintos conjuntos de $Y, Z \in \mathcal{F}$ $X$ tal que $(\forall W)(Y \subseteq W \subseteq Y \bigcup Z \implies W \in \mathcal{F})$.

Prueba de reclamación: Fix $X \in \mathcal{F}$. Primero obtener un discontinuo de la colección de $\{X_n : n \in \omega\}$ con $X_n \in \mathcal{F}$, $\displaystyle X' = \bigcup_{n \in \omega} X_n \in \mathcal{F}$ y $X' \subseteq X$. El próximo inductivamente a tratar de construir una secuencia $\{A_n : n \in \omega\} \subseteq \mathcal{F}$ tal que

(1) $A_0 = X'$

(2) $A_{n+1} \subseteq A_n$

(3) $A_{n+1} \bigcap (\bigcup_{i < n+1} X_i) = \phi$

(4) $A_{n+1} \bigcap X_{i} \in \mathcal{F}$ para infinidad de $i$'s

Observe que la construcción debe detenerse en algunos finito etapa de lo contrario, $\{A_n : n \in \omega\}$ es una secuencia descendente en $\mathcal{F}$ con intersección vacía. Supongamos $A_{n+1}$ no existe (y $A_n$). Deje $m$ ser mayor que $n$ tal que $A_n \bigcap X_m \in \mathcal{F}$. Poner $Y = A_n \bigcap X_n$$Z = A_n \bigcap X_m$. A continuación,$Z \in \mathcal{F}$. Si es posible, supongamos $Y \subseteq W \subseteq Y \bigcup Z$$W \notin \mathcal{F}$. A continuación, $A_{n+1} = A_n \backslash W \in \mathcal{F}$ satisface las cláusulas (2), (3) y (4) que es imposible. Esto termina la prueba de reclamación.

Ahora fix $X \in \mathcal{F}$. Deje $Y_0, Z_0$ ser como el $Y, Z$ de la demanda. Deje $Y_1, Z_1$ ser similares para $Z_0$ y así sucesivamente. A continuación, $X_n = \bigcup_{i \geq n} Y_i$ es una secuencia descendente en $\mathcal{F}$ con intersección vacía - Contradicción.