Intervalos libres de números primos

Question

¿Cómo puedo probar que existe intervalos tan grandes como quiero que estén libres de primos?
Es decir, $\forall \ k \in \mathbb{N}, \exists \ k$ consecutivos positivos enteros ninguno de los cuales es un primer.

Answer 1

El % de números $6!+2, \ 6!+3, \ 6!+4, \ 6!+5, \ 6!+6$son cinco números enteros compuestos consecutivos. ¿Se puede generalizar?

Answer 2

Por el teorema del resto Chino puede resolver cualquier conjunto finito de congruencias de una sola desconocido modulo pares relativamente números primos. Ahora a encontrar una secuencia de $n$ consecutivas no de los números primos, la primera revisión $n$ pares relativamente números primos $m_1,m_2,\ldots,m_n$ ${}>1$ (que es sin duda posible debido a la fuente infinita de números primos), y encontrar una solución a $a$ a las congruencias $$ \begin{aligned} a&\equiv-1\pmod{m_1},\\ a&\equiv-2\pmod{m_2},\\ a&\equiv-3\pmod{m_3},\\ &\,\vdots \\ a&\equiv-n\pmod{m_n}. \end{aligned} $$ Si $a$ debe pasar a ser de menos de $\max\{m_1,\ldots,m_n\}$, agregar un múltiplo del producto $m_1m_2\ldots m_n$ $a$para obtener otra solución que satisfaga a $a\geq\max\{m_1,\ldots,m_n\}$. Ahora, por construcción, el número de $a+i$ es estrictamente divisible por $m_i$$i=1,\ldots,n$, y por lo tanto el compuesto.

Answer 3

Hay preferido ya algunos grandes soluciones, pero también es la solución intuitiva, que viene del teorema de Chebyshev número primo. El número de números primeros es $O(log(n))$, por lo que siempre habrá un intervalo con compuesto de números con la longitud de $O \left(\frac n {log( n)}\right)$ $n$ que es bastante grande. Por lo tanto cualquier longitud de segmento es alcanzable.

Answer 4

Habría formulado otra forma. Usando el contraposit de lo que queremos demostrar, hay un k para cuál allí es no hay secuencia de k no-primer número consecutivo. Este conductor con el número de prime en por lo menos $\frac{n}{k}$ % es decir, $O(n)$. Esto está en contradicción con el teorema primero del número sugerido por Harold.

Answer 5

A partir de un problema más simple. Es fácil encontrar una cadena de cuatro números consecutivos de compuesto sólo por comprobar. Pero pensar en cómo podría ir haciendo de manera sistemática.