Obligando a nombres de parámetros en las definiciones y el concepto iterativo de conjunto

Question

Así que, he estado tratando de aprender lo más que pueda acerca de forzamiento. Yo sé que un modelo tiene su propio (trivial) forzando la prórroga. Lo que me interesa es si hay una manera de pensar en el proceso iterativo de jerarquía en términos de (trivial?) obligando a las extensiones?

El proceso iterativo de jerarquía para $\mathsf{ZF}$ puede ser dado en la manera tradicional:

El primer nivel, $V_0$, se define como el conjunto vacío, $\emptyset$ (si la teoría de conjuntos es impuro, este es también el lugar donde el urelements, es decir, la no-conjunto de individuos, de residencia). Posterior los niveles están formados por tomar el powerset de la etapa anterior, tales que el nivel inmediatamente siguiente $V_n$ (para los ordinales finitos $n$), el sucesor de nivel de $V_{n+1}$, se define como $\mathcal{P}(V_n)$. Una vez que se han formado todas las finito de etapas, forman el primer nivel del límite de $V_\omega$ tomando el infinito de la unión de los niveles precedentes, $\bigcup_{n<\omega} V_n$. A continuación, el proceso se repite para el sucesor de los niveles de $V_\omega$, $V_{\omega + 1}, V_{\omega + 1},\dots$, with the successor levels of $V_\omega$ sindicalizados para formar el siguiente nivel del límite de $V_{\omega \cdot 2}$. El universo de conjuntos, $V$, es la unión de todos los niveles: $V = \bigcup_{\alpha \en O} V_\alpha$, where $O$ es la clase de todos los ordinales.

Es allí una manera de entender los diferentes niveles como obligar a las extensiones de los niveles anteriores? Estoy preguntando, porque es común que, en la conversación de la iterativo de la concepción, para permitir que los conjuntos formados en los niveles anteriores pueden ser utilizados como parámetros en la definición de nuevos conjuntos. Estos parámetros de tipo de me recordó de los nombres que se introdujo cuando se agrega constantes para su forzando el lenguaje.

¿Hay alguna conexión interesante entre los niveles de $\mathsf{ZF}$ y el forzamiento de las extensiones de la teoría? Podemos comprender los niveles como algo parecido a forzar a las extensiones de los niveles anteriores?

Answer 1

No realmente - son fundamentalmente diferentes tipos de extensión. Uno de los fundamentales de las propiedades de forzar es que un forzando la extensión de $V\subset V[G]$ es un final de extensión - no hay "presenta nuevos elementos", pero no una extensión superior (obligando a no agrega nuevo ordinales). Una extensión superior es aquella en la que cada nuevo conjunto tiene más valor que todas las viejas que es, exactamente como $V_{\alpha+1}$$V_\alpha$. Entonces, en un sentido, obligando a que es realmente "ortogonal" a la jerarquía acumulativa - iteración powersets construye"," obligando construye "hacia los lados.

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Partiendo de un comentario a continuación: nota que no trivial obligando a las extensiones son nunca de primaria extensiones. Ahora, la iteración powerset no produce primaria extensiones de nivel por nivel, es decir, $V_\alpha$ no es nunca una escuela primaria de la subestructura de $V_{\alpha+1}$ (desde $V_{\alpha+1}$ satisface "hay un conjunto $X$ de máximo rango," así debe de $V_\alpha$, lo $\alpha=\beta+1$; pero, a continuación, $V_\alpha$ $V_\beta$ está en desacuerdo en lo que el mayor número ordinal!) - pero podemos tener $V_\alpha\prec V_\beta$ para ciertos $\alpha<\beta$.

Encontrar ese $\alpha$$\beta$: Fix $\alpha_0$. Ahora por iterativamente cierre a bajo funciones de Skolem, podemos encontrar una $\alpha>\alpha_0$ tal que $V_\alpha\prec V$. Fix $\beta_0>\alpha$, y del mismo modo encontrar $\beta>\beta_0$ tal que $V_\beta\prec V$. Luego, usamos el hecho general de modelo de la teoría de que $$A\preccurlyeq C, B\preccurlyeq C, A\subseteq B\implies A\preccurlyeq B.$$

(Este argumento, en realidad lleva más de ZFC - en particular, como está escrito implica la consistencia de ZFC! - pero no mucho más.)