Necesito ayuda informática la distribución inversa de Fourier de la función $1/|x|^2$ en dimensión dos. ¿El integral tiene sentido escrito como\begin{align} 1/2\pi \int_{\mathbb{R}^2} e^{ix\xi} |\xi|^{-2} d\xi \end {Alinee el} hay una manera de calcular esto explícitamente como un valor principal?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user8268
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Esta no es la respuesta que usted quiere que, pero algo inesperado sucede: la función de $|x|^{-2}$ no es localmente integrable en $\mathbb R^2$ (el problema es de alrededor de $x=0$), por lo que no es obvio que la distribución que quieres decir. Se puede extender $|x|^{-2}$ a una distribución, por ejemplo, si $c>0$ podemos definir $f_c$ a través de $$\langle f_c,\phi\rangle=\int_{|x|>c}\phi(x)|x|^{-2}\,dx+\int_{|x|\leq c}(\phi(x)-\phi(0))|x|^{-2}\,dx$$ y tenemos $f_c-f_{c'}=\pi(c^2-c'^2)\delta$. No hay "mejor" elección de $c$ (y el límite de $c\to0$ $f_c$ no existe). La moraleja es que, como de distribución, $|x|^{-2}$ puede ser definido sólo a un múltiplo de $\delta$. No el principal valor es que nos vamos a salvar.
Como la inversa de la transformación de Fourier, se puede calcular indirectamente de la siguiente manera: desde $|x|^2f_c=1$ (para cualquier $c$), obtenemos $\Delta\mathcal F^{-1}(f_c)=-2\pi\delta$ ($\mathcal F^{-1}$ significa inversa de la transformada de Fourier, la utilización de su normalización), por lo $\mathcal F^{-1}(f_c)=\log|x|+g_c$ donde $g_c$ es armónico. Todas las funciones de los/las distribuciones de rotación-invariante, por lo $g$ es una rotación invariantes armónico de la función, es decir, una constante. De $f_c-f_{c'}=\pi(c^2-c'^2)\delta$ podemos ver que $g_c-g_{c'}=(c^2-c'^2)/2$. El valor de (digamos) $g_1$ parece estar más allá de mis habilidades.
