¿Hay un número infinito de minibrots en la línea real?

Question

Este es del 25 amplía el uso de Fractal Extreme. El círculo rojo indica que hay más minibrots entre el pequeño y el grande. El patrón de super grande (abajo a la derecha), medianas (arriba-izquierda), y dos de tamaño similar mini en el medio parece repetir como acercar y en. Si se va a seguir zoom entre el super grandes y pequeños, sería la repetición del patrón en forma indefinida? O, finalmente, desvaneciendo como si fueras a ir a lo largo de la línea real de forma horizontal?

Answer 1

Sí, allí hay un número infinito de minibrots en la recta real. Aquí está una demostración directa de donde un número infinito de tales minibots puede ser encontrado!

Considerar el punto de Misiurewicz C=-1.54368901269207636, que es la verdadera solución de la ecuación cúbica $C^3+2C^2+2C+2$. Misiurewicz puntos de soluciones que se repiten periódicamente, pero no vaya a cero. Así, para el valor de C que me dio, se puede ver el patrón de repetición de partida en x=0, y se itera $x\mapsto x^2+C$. A diferencia de la hiperbólico puntos, que son la atracción, de Misiurewicz puntos de rechazo y repetir. Hiperbólico centros de Mandelbrot bombillas también repetir, pero que repetir yendo a cero. En el barrio de Misiurewicz punto, el de Mandelbrot es un auto similar al aplicar el zoom. Esto también se aplica a la ubicación de la mini-Mandelbrots en la Mandelbrot en el barrio de la Misiurewicz punto. Hay un mini-Mandelbrot en cada una de la cruz escotillas en esta imagen. La cruz patrón de sombreado se repite infinitamente y es similar al aplicar el zoom. El bebé mandelbrots en el cross hatch puntos relativamente menor que el de la cruz patrón de trama en sí, pero todavía están ahí, repitiendo infinitamente, a medida que se acerca infinitamente. Esto proporciona un conjunto infinito de mini-Mandelbrots todos en el eje real, y todos en el vecindario de este particular punto de Misiurewicz. Por supuesto, también hay un número infinito de otros Misiurewicz puntos sobre el eje real, que tiene la misma definición de los puntos donde el patrón se repite sin ir a cero.

 0 (x0, start at x=0)
-1.54368901269207636 (x1=C; iterating x^2+C)
 0.839286755214161133 (x2=C^2+C)
-0.839286755214161133 (x3=C^4 + 2C^3 + C^2 + C)
-0.839286755214161133 (x4=X3^2+C ....)

Este patrón se repite para siempre, porque C es la verdadera valores de la solución de la ecuación algebraica $x3=-x2$. Después de factoring raíces para C=0, la ecuación algebraica se reduce a la ecuación cúbica que me dio anteriormente, $C^3+2C^2+2C+2=0$.

Answer 2

El conjunto de Mandelbrot es self-similar. Para que zoom, que puede volver el mismo cuadro. Una bonita animación de esto puede encontrarse en esta Página de Wikipedia (Desplácese hacia abajo hasta "Ejemplos").

Por lo que en sus términos, el patrón se repita infinitamente.