encontrar la suma de los valores absolutos de las raíces

Question

Cómo encontrar la suma de los valores absolutos de las raíces de esta ecuación:

$$x^4-4x^3-4x^2+16x-8=0$$

Answer 1

Observe que $$\begin{align}x^4-4x^3-4x^2+16x-8 &= (x-1)^4 - 10(x-1)^2 + 1 \\ &= ((x-1)^2-5)^2-24 \end{align}$$ para poder calcular las raíces explícitamente y sumar sus valores absolutos.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Supongamos que $\rm\ g(x\!+\!1)\, =\, f(x^2),\:$ y que $\rm\:f(x)\:$ tiene raíces $\rm\:0< s < 1 < r.\:$

Entonces $\rm\:g\:$ tiene raíces $\rm\:1\!-\!\sqrt{r}\, <\, 0\, <\, 1+\sqrt{r},\: 1\pm\sqrt{s},\:$ con suma absoluta $\rm\ 2 + 2\,\sqrt{r}.$

En su caso $\rm\:f(x) =\, x^2 - 10\,x + 1\:$ tiene raíces $\rm\: 0 < 5 -2 \sqrt{6} < 1 < 5 + 2\sqrt{6}\:$ por lo tanto, por lo anterior, deducimos que $\rm\:g\:$ tiene la suma de la raíz absoluta $= 2 + 2\sqrt{5+2\sqrt{6}}\, =\, 2\,(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}).$