Encontrar enteros todos satisfaciendo la condición

Question

Encontrar todas las soluciones de la desigualdad-

$$\sqrt{x(\ln x +\ln \ln x)}-1 > y > \sqrt{x(\ln x+ \ln \ln x-1)}$$

Donde $x,y$ $\in$ $\mathbb N$.

Determinar el conjunto de valores integrales de $(x,y)$.

Creo que para todas las $y$ mayor que un $n$, siempre habrá un $x \in \mathbb R^+$ para que la desigualdad sostiene sino que incluso la prueba de parece difícil para mí.

No he hecho ningún progreso con respecto a este problema. Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

Parece que la desigualdad no tiene soluciones.

¿La pregunta es clara $$\sqrt{x(\ln x +\ln \ln x)}-1 > \sqrt{x(\ln x+ \ln \ln x-1)}\Rightarrow$$ $$\sqrt{x(\ln x +\ln \ln x)}-1-\sqrt{x(\ln x+ \ln \ln x-1)}>0\Rightarrow$$ $% $ $\sqrt{x(\ln x +\ln \ln x)}-\sqrt{x(\ln x+ \ln \ln x-1)}>1$pero es esto siempre cierto?

Simplemente graficando esta última desigualdad revela que no es. (Tenga en cuenta que el $\lim_{x\rightarrow \infty}$ de la LHS es $0$, que es menos de $1$.)