Uniforme fronteridad de serie de Fourier de funciones del indicador

Question

Supongamos $f\in L^1[0,2\pi]$, denotan por $S_n f(x)$ la suma parcial de la serie de Fourier de $f$. Estoy interesada en saber si $S_nf(x)$ es uniformemente acotada independiente de $x$$n$, es decir, $$(*)\ \ \ \ \sup_n\|S_n f\|_\infty<\infty.$$

Para$f\in C[0,2\pi]$$f(0)=f(2\pi)$, es una aplicación estándar de la acotamiento uniforme principio de que $(*)$ puede fallar; ver aquí.

Para $f=\chi_{[a,b]}$ donde $[a,b]\subset [0,2\pi]$, directos de computación, junto con la integración por partes muestra que $(*)$ mantiene independiente de $a$$b$.

Ahora parece natural preguntarse ¿qué sucede si $f=\chi_E$ donde $E\subset [0,2\pi]$ es un conjunto medible. Más precisamente, mi pregunta es:

Pregunta: Vamos a $E\subset [0,2\pi]$ a (Borel) medibles conjunto y deje $f=\chi_E$. Es cierto que $$\sup_n\|S_n f\|_\infty<\infty?$$

Answer 1

Hay contraejemplos. Deje $D_n$ ser el kernel de Dirichlet. Utilizando la fórmula explícita para $D_n$, es fácil ver que para cualquier $\delta>0$, $$\sup_{n} \int_{|x|\ge \delta} |D_n(x)|\,dx <\infty\tag1$$ $$\lim_{n\to\infty}\int_{|x|\le \delta} D_n(x)^+\,dx= \infty \tag2$$ As usual, $a^+=\max(a,0)$.

Construir una secuencia $\delta_m\searrow 0$, una secuencia de conjuntos de $E_m\subset \{x:\delta_m \le|x|\le \delta_{m-1}\}$, y una secuencia de índices de $n(m)$ como sigue.

• deje $\delta_0=1$
• elija $n(1)$, de modo que $\int_{|x|\le \delta_0}D_{n(1)}^+\ge 2+\int_{|x|\ge \delta_{0}}|D_{n({1})}|$
• elija $\delta_1>0$, de modo que $\int_{ |x|\le \delta_1}|D_{n(1)}|\le 1$
• deje $E_1=\{x: \delta_1\le |x|\le \delta_0, \ D_{n(1)}(x)\ge 0\}$

Habiendo $m-1$ de tales cosas, continuar:

• elija $n({m})$, de modo que $\int_{|x|\le \delta_{m-1}}D_{n({m})}^+\ge m+1+\int_{|x|\ge \delta_{m-1}}|D_{n({m})}|$
• elija $\delta_{m}>0$, de modo que $\int_{|x|\le \delta_{m}}|D_{n({m})}|\le 1$
• deje $E_{m}=\{x: \delta_{m}\le |x|\le \delta_{m-1}, \ D_{n({m})}(x)\ge 0\}$

Por último, vamos a $E=\bigcup_{m=1}^\infty E_m$. Para cada $m$ hemos $$S_{n(m)}\chi_E(0) = \int_E D_{n({m})} \ge \int_{E_{n(m)}} D_{n({m})} - \sum_{k\ne m} \int_{E_{n(k)}} |D_{n({m})}| \tag3$$ Aquí $$\int_{E_{n(m)}} D_{n_{m}} \ge m+1+\int_{|x|\ge \delta_{m-1}}|D_{n({m})}|$$ $$\sum_{k<m} \int_{E_{n(k)}} |D_{n({m})}| \le \int_{|x|\ge \delta_{m-1}}|D_{n({m})}|$$ $$\sum_{k>m} \int_{E_{n(k)}} |D_{n({m})}| \le \int_{|x|\le \delta_{m}}|D_{n({m})}|\le 1$$ y, por tanto,$S_{n(m)}\chi_E(0)\ge m$.