Grupos de cardinalidad mayor que el continuo

Question

¿Puede darme algunos ejemplos de grupos de cardinalidad mayor que el continuo? Todos los ejemplos (infinitos) que me han enseñado son contables o de cardinalidad continua.

¿Hay algún "ejemplo natural"? (Ejemplos que te encuentras cuando estás investigando algún problema o investigando alguna teoría)

Answer 1

Mi grupo favorito de cardinalidad mayor que el continuo es el grupo de automorfismos de campo de los números complejos .

Este es un grupo muy grande e interesante: no sólo tiene cardinalidad $2^{\mathfrak{c}} = 2^{2^{\aleph_0}}$ (a la patrulla de AC: sí, estoy asumiendo el Axioma de Elección aquí), tiene este muchos clases de conjugación de involuciones que se desprende de (la respuesta afirmativa que recibí a) esta pregunta del modus operandi . (Esto también está subiendo en mi lista de errores más frecuentes de los matemáticos veteranos. He visto a mucha gente inteligente afirmar que del Teorema de Artin-Schreier se deduce que todo índice $2$ subcampo de $\mathbb{C}$ es isomorfo a $\mathbb{R}$ . El número cardinal por el que se equivoca esta afirmación es bastante asombroso).

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Es una respuesta menos divertida, pero: ciertamente hay grupos de toda cardinalidad infinita. Si quieres ser astuto, esto se deduce del Teorema de Lowenheim-Skolem en la teoría de modelos (a la patrulla AC...), ya que la teoría de grupos tiene un lenguaje contable y admite infinitos modelos. Un ejemplo es que el grupo abeliano libre (y también el grupo libre) sobre un conjunto infinito $S$ tiene una cardinalidad igual a la de $S$ . Además, el grupo $\operatorname{Sym} S$ de todas las biyecciones en un conjunto infinito $S$ tiene cardinalidad $2^{\# S} > \# S$ .

Puedes seguir construyendo tus propios ejemplos favoritos. Por ejemplo, hay un campo $F$ de toda cardinalidad infinita $\kappa$ (por ejemplo, un campo de funciones racionales sobre $\mathbb{Q}$ en $\kappa$ indeterminados) y para todos los $n \geq 2$ El grupo $\operatorname{PSL}_n(F) = \operatorname{SL}_n(F)/\text{center}$ de $n \times n$ matrices en $F$ con determinante $1$ modulo de matrices escalares con determinante $1$ es un grupo simple de cardinalidad $\# F$ . (Este es un ejemplo divertido porque también conocemos todos los órdenes posibles de los grupos simples finitos... pero eso es sólo un pequeño un poco más difícil) Todos estos son ejemplos bastante naturales, creo.

Answer 2

Se puede construir una estructura de grupo (anillo) sobre cualquier conjunto no vacío $E$ . Esto es trivial si E es finito, así que supongamos que $E$ es infinito. El módulo libre $Z_2[E]$ en $Z/2Z$ con base $E$ es equipotente a $P_f(E)$ el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $E$ . Sólo tenemos que demostrar que $E$ y $P_f(E)$ tienen la misma cardinalidad (por lo que podemos trnsportar cualquier estructura de uno de ellos al otro).

Ahora sólo tienes que ver La cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto infinito

Answer 3

Considere $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$ -el espacio vectorial y mira $\rm{Hom}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{R},\mathbb{Q})$ el conjunto de $\mathbb{Q}$ -mapas lineales de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{Q}$ .

Dado que la dimensión de $\mathbb{R}$ es $|\mathbb{R}|$ el espacio vectorial anterior tiene una dimensión estrictamente mayor. Esto significa entonces que la cardinalidad del espacio anterior es estrictamente mayor que $|\mathbb{R}|$ y por lo tanto también lo es el orden del grupo abeliano subyacente.