Fuerte convergencia no implica convergencia de norma de operador

Question

¿Cómo construir una secuencia de transformaciones lineales acotadas que convergen fuertemente al operador de cero, pero no convergen a cero operador en la norma del operador? Algo extraño debe ocurrir para algunos elementos del espacio de Hilbert, pero ¿qué cosa debo buscar? ¡Un ejemplo sería muy útil, gracias de antemano!

Answer 1

¿Sugerencia: Considerar potencias iteradas de la cambio izquierda unilateral operador $S\colon \ell^2(\mathbb N)\to \ell^2(\mathbb N)$ de $$(Sa)(n)=a(n+1).$ $ pueden calcular $\lVert S^ka\rVert$ en cuanto a las entradas de $a$? Por otro lado, ¿cuál es la norma del operador de $S^k$?

Answer 2

Otra opción es fijar un base orthonormal del $\{e_j\}$ y considerar el % de proyecciones ortogonales $P_j$por P_j\xi$ = \langle\xi, e_j\rangle e_j. $$ entonces $\|P_j\|=1$ % todo $j$y $P_j\to0$ fuertemente. De hecho, para cualquier vector $\xi$ tenemos de Parseval $$ \|\xi\|^2=\sum_j\| P_j\xi\ | ^ 2, $$ y en particular $\|P_j\xi\|\to0$.