¿Converge la secuencia $a_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}$?

Question

¿La secuencia de $a_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}$ convergen?

Esta es una tarea pregunta para un análisis de clase.

En primer lugar, sé que la secuencia se compone de los números impares hasta el $2n-1$ por encima de los números hasta el $2n$.

En segundo lugar, sé que la secuencia disminuye. Supongo que va a converger, pero no específicamente a $0$.

Donde estoy atascado es la simplificación de la serie a algo más fácil trabajar con. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Edit: solucionado, gracias a todos. Terminé haciendo lo que fue sugerida por primera vez, al no encontrar el límite real, pero sólo para probar la secuencia converge. Gracias de nuevo!

Answer 1

Si simplemente está tratando de demostrar converge y no por lo que en realidad converge a, el problema es bastante trivial.

Desde $2n-1 < 2n$ y $\frac{1}{2}$ es el primer término, luego $0 < x_{n} < 1$ % todo $n$el $\{x_{n}\}$ de la secuencia es una secuencia limitada. También observe que $x_{n+1} = x_{n}\frac{2n+1}{2n+2} < x_{n}$, $\{x_{n}\}$ es monótona decreciente. Así que por el teorema de convergencia monótona, la secuencia converge.

Answer 2

Si conoces la fórmula de Stirling, puede reescribir la secuencia como

$$a_n = \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2}$$

Por lo tanto, con la fórmula de Stirling, es equivalente a

$$a_n \sim \frac{\sqrt{4n\pi}\left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}}{2^{2n}\left(\sqrt{2n\pi}\left( \frac{n}{e} \right)^{n} \right)^2} = \frac{1}{\sqrt{n\pi}}$$

Por lo tanto convergen al $0$

Answer 3

$$a^{ 2 }_{ n }={ \left( \frac { 1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1) }{ 2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot (2n) } \right) }^{ 2 }=\frac { { 1 }^{ 2 }\cdot 3^{ 2 }\cdot 5^{ 2 }\cdot ...\cdot (2n-1)^{ 2 } }{ 2^{ 2 }\cdot 4^{ 2 }\cdot 6^{ 2 }\cdot ...\cdot (2n)^{ 2 } } =\\ =\frac { 1\cdot 3 }{ { 2 }^{ 2 } } \cdot \frac { 3\cdot 5 }{ 4^{ 2 } } \cdot \frac { \left( 2n-1 \right) \left( 2n+1 \right) }{ \left( 2n \right) ^{ 2 } } \cdot \frac { 1 }{ 2n+1 } <\frac { 1 }{ 2n+1 } \\ \\ $ $ para cada $n$ $ \epsilon$ $ \mathbb{N} $ $0<{ a }_{ n }<\frac { 1 }{ \sqrt { 2n+1 } } \quad $ por lo que converge y

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { a }_{ n } } =0$$

Answer 4

Reescribir la secuencia %#% $ de #% y utilizar la fórmula de Stirling: $$u_n=\frac{(2n)!}{(2\cdot 4\dotsm 2n)^2}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$ $