Un conjunto de números distintos de cumplir una propiedad

Question

Si $x, y, z, u \in \Bbb{N}$ es números distintos, no cualquier conjunto de números existen para cumplir con la siguiente propiedad $$x^y =y^z =z^u.$ $

Es cierto sólo tres números $x, y, z$. ¿Hay alguna formula para encontrar un conjunto de estos números?

Answer 1

La ecuación de $$(2^{128})^8=8^{256}=256^{96}$$ holds. I found this by assuming $x, y, z $ would all be powers of the same small prime (picking $2 $ for connivence) and doing a little trial and error. $y $ and $z $ need to be reasonably space powers of the base number, so then it was just a matter of doing some trial and error and exponent manipulation. A major issue with generating things like this is making sure all the solutions are integers, but by working with powers of a prime we can make that happen easily by just moving around parentheses. All of these numbers are just different ways to group exponents for $2 ^ {1024} $.

Espero que arbitrariamente largas cadenas son posibles. La clave para ellos es tratar de mantener el exponente del siguiente término a la derecha una potencia de $2$ todo el tiempo posible, probablemente requiere de la suma entera a la igualdad de un número de la forma $2^{2^{2^\ldots}}$ o cerca de ella. Escribe estos números como potencias anidados de $2$ podría resultar esclarecedor en ese sentido también.

Answer 2

$$(x, y, z, u) = \left(r^{br^i}, r^b, r^{b+i}, \frac{br^{b+i}}{b+i}\right),$$ donde

$r, b \in \mathbb{N}$ $i \in \mathbb{Z}$ satisfacer:

• $r$ no es un poder perfecto, es decir, no hay ningún número natural $k > 1$ tal que $r^{-k} \in \mathbb{N}$.
• cualquiera de las $i > 0$ o $i < 0$ $r^{-i}$ divide $b$.
• $(b+i)$ divide $br^{b+i}$.

Estas condiciones no garantiza la unicidad. Por ejemplo, si $r=2$$b=i=1$$x=z$. Puede haber otros casos de esquina.

Para ver que esto funciona, la ecuación original sugiere que $x$, $y$, y $z$ todo puede ser escrito como poderes de algunos comunes entero $r$, que se supone han de ser mínimas. Así, podemos escribir $$(x, y, z) =(r^a, r^b, r^c)$$ for some natural numbers $a, b, c$.

Sustituimos en las ecuaciones originales y tome $\log_r$ conseguir $$ar^b = br^c = cu.$$

Si tomamos $r$ $b$ fijo, y establecer$i=c-b$, entonces podemos resolver para el resto de los valores, y las condiciones necesarias caer.

Answer 3

No es una respuesta completa, pero aquí está algo de código python que puede generar algunas de ellas (Nota: no incluso a optimizado):

from itertools import product
import math

max = 260
xyz = list(product(range(2, max), repeat=3))
for (x, y, z) in xyz:
    if x != y and y != z and x != z:
        if x ** y == y ** z:
            u = (z * math.log(y, z))
            if u.is_integer():
                u = int(u)
                print("x={}, y={}, z={}, u={} --> {}^{} = {}^{} = {}^{}".format(x, y, z, u, x, y, y, z, z, u))

$$ 2 ^ {16} = 16 ^ 4 = 4 ^ 8, \\ 64 ^ {8} = 8 ^ {16} = 16 ^ {12}, \\ 256 ^ 2 = 2 ^ {16} = 16 ^ {4}, \\ 256 ^ 4 = 4 ^ {16} = 16 ^ 8 $$