Creo que sería muy útil disponer de una lista de propiedades que se conservan para el límite de una secuencia de funciones, y se preguntaba si usted podría ayudarme a hacer la lista más completa. Deje $f_n$ ser una secuencia de funciones en $\mathbb{R}$ que converge (uniforme o sólo pointwise) a una función limitante $f$. Qué propiedades de $f_n$ todavía se mantienen para $f$?
El fácil bits son probablemente: Si la convergencia es uniforme, entonces
-continuidad
-acotamiento
-Integrabilidad de Riemann
-analiticidad
se conservan como $n\to\infty$ (véase, por ejemplo, https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/ch9.pdf y por supuesto http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence).
¿Conoces otros? Hay propiedades que se conservan bajo pointwise convergencia? Referencias o (esbozos) de las pruebas sería genial también, si usted conoce.
Gracias por ayudar con esta lista!
Edit: Jochen señaló en su respuesta que, en general, la diferenciabilidad no necesita ser preservada cuando se lleva al límite. Sin embargo, si $f_n\to f$ pointwise, y $f_n'\to g$ de manera uniforme, a continuación, $f'=g$ (ver https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/ch9.pdf). ¿Esto también se mantenga a la izquierda o a la derecha-la diferenciabilidad? Si $f_n$ no es diferenciable, pero a la derecha-derivados que existen y tienden a $g$, es que entonces el derecho derivado de la $f$?
