Una función f (x) que aumenta de 0 a 1 cuando x aumenta desde 0 hasta el infinito.

Question

Estoy buscando una función f(x) con un valor de un rango de [0,1].

f(x) debe aumentar de 0 a 1, mientras que su parámetro x aumenta de 0 a +infinito.

f(x) aumenta muy rápido cuando x es pequeño, y luego muy lento y, finalmente, el enfoque 1 cuando x es infinito.

Aquí está una figura. La curva verde es lo que estoy buscando:

Gracias.

Sería genial si me puede ajustar la inclinación de la subida. Aunque este no es un requisito obligatorio.

Answer 1

Creo que esto debería funcionar bien para sus propósitos: $$ f (x) = \frac{x}{x + a} $$ donde $a$ puede ser cualquier número mayor que $0$. El menor $a$ es, el aumento será el más agudo.

Adición: si quieres ampliar esto a una función impar (y continuamente diferenciable), simplemente tomar $$ f (x) = \frac{x}{|x| + a} $$

Answer 2

Aquí hay dos funciones simples con pendiente $k$ $x=0$, $k>0$:

$$f(x) = 1-e^{-kx}$$

y

$$g(x) = \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{\pi}{2}kx)$$

La primera de ellas acerca más rápido que el segundo $1$.

Answer 3

Utilizo muy a menudo es: $$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}$ $

El aumento al principio alrededor de 0 "sólo" es lineal, pero puede hacer el trabajo. y usted puede elegir la pendiente en $x \mapsto 0$

Answer 4

Me sorprende que nadie ha mencionado ERF (x) también conocido como la "función de Error", define áspero como el normalizada área bajo la curva de bell como una función del límite superior de integración. Para x > 1, se cumple con el requisito y también tiene una pendiente que es fácilmente controlada (y arbitrariamente grandes a 0) por el ancho de la Gaussiana.

Answer 5

lo $f(x) = 1 - \exp(-x/\epsilon)$ $\epsilon > 0$ pequeño.