Conjunto de convergencia es mensurable.

Question

Posibles Duplicados:
pointwise convergencia en $\sigma$-álgebra

Problema: Demostrar que el conjunto de puntos en el que una secuencia de funciones reales medibles converge es un conjunto medible. (Creo que el problema significa que las funciones de los reales a los reales.)

Fuente: W. Rudin, Reales y Complejos Análisis, en el Capítulo 1, ejercicio 5.

He publicado una propuesta de solución en las respuestas.

Answer 1

Deje que la secuencia de las funciones de ser $\{f_n(x)\}$. El $\lim \inf$ $\lim\sup$ de esta secuencia de funciones medibles (extended valores) funciones. Denotar ellos $h(x)$$g(x)$. El conjunto $A$ donde $g$ $h$ son tanto el infinito positivo o negativo infinito es medible, ya que son cada una de las funciones medibles.

Considere la función $p(x)=h\chi_{\mathbb{R}-A}-g\chi_{\mathbb{R}-A}$. Es cero, precisamente, donde la secuencia original de las funciones tiene un límite. A continuación, $E=p^{-1}(\{0\})$ es medible, por lo que e $E\cup A$ es medible, y es el conjunto de puntos donde la secuencia tiene un límite, por lo que estamos por hacer.