Probando que $2^{2a+1}+2^a+1$ no es un cuadrado perfecto dado $a \ge5 $

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Demuestra que $2^{2a+1}+2^a+1$ no es un cuadrado perfecto para cada entero $a \ge5 $ .

Encontré que la expresión es un cuadrado perfecto para $a=0$ y $4$ . Pero hasta ahora no puedo probar coherentemente que no hay otros valores de $a$ de tal manera que la expresión es un cuadrado perfecto.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Asumiré que $a \ge 1$ y mostrar que la única solución para $2^{2a+1}+2^a+1 = n^2$ es $a=4, n=23$ .

Esto es muy poco elegante pero creo que es correcto. Sólo seguí cargando hacia adelante, esperando que los casos terminaría. Afortunadamente, parece que lo han hecho.

Si $2^{2a+1}+2^a+1 = n^2$ , entonces $2^{2a+1}+2^a = n^2-1$ o $2^a(2^{a+1}+1) = (n+1)(n-1)$ .

$n$ debe ser impar, así que deja $n = 2^uv+1$ donde $v $ es impar y $u \ge 1$ .

Luego $2^a(2^{a+1}+1) = (2^uv+1+1)(2^uv+1-1) = 2^u v(2^u v+2) = 2^{u+1} v(2^{u-1} v+1) $ .

Si $u \ge 2$ , entonces $a = u+1$ y $2^{a+1}+1 =v(2^{u-1} v+1) $ o $2^{u+2}+1 =v(2^{u-1} v+1) =v^22^{u-1} +v $ .

Si $v \ge 3$ , el lado derecho es demasiado grande, así que $v = 1$ . Pero esto no se puede sostener, así que $u = 1$ .

Por lo tanto $2^a(2^{a+1}+1) = 2^{2} v( v+1) $ para que $a \ge 3$ .

Deje que $v = 2^rs-1$ donde $s$ es impar y $r \ge 1$ . Luego $2^{a-2}(2^{a+1}+1) = v( 2^rs) $ así que $a-2 = r$ y $2^{a+1}+1 = vs \implies 2^{r+3}+1 = vs = (2^rs-1)s = 2^rs^2-s $ .

Por lo tanto $s+1 =2^rs^2-2^{r+3} =2^r(s^2-8) \ge 2(s^2-8) \implies 2s^2-s \le 17$ así que $s = 1$ o $3$ .

Si $s = 1$ , entonces $2^{r+3}+1 =2^r-1 $ que no puede ser.

Si $s = 3$ entonces $2^{r+3}+1 =9 \cdot 2^r-3 \implies 4 =9 \cdot 2^r-2^{r+3} =2^r \implies r = 2, v = 11, a = 4$ y $2^9+2^4+1 =512+16+1 =529 =23^2 $ .