Ejemplo de aplicación de un teorema sobre ideales en anillos de fracciones en Atiyah-MacDonald

Question

En Atiyah-MacDonald, tenemos el siguiente teorema (p. 41):

Proposición 3.11.

i) Todo ideal en $S^{-1}R$ es un ideal extendido.

ii) Si $I$ es un ideal en $R$ entonces $I^{ec} = \bigcup_{s \in S} (I : \langle s \rangle )$ . Por lo tanto, $I^e = (1) = S^{-1}R$ si y sólo si $I$ se encuentra con $S$ .

iii) $I = I^{ec}$ si y sólo si ningún elemento de $S$ es un divisor de cero en $R/I$ .

iv) Los ideales primos de $S^{-1}R$ están en correspondencia uno a uno con los ideales primos de $R$ que no cumplen $S$ .

(Omito el punto v) del teorema ya que mi pregunta se refiere a los puntos ii),iii) y iv). )

Aunque soy capaz de demostrar este teorema, me pregunto cómo podré recordarlo, en particular, las afirmaciones ii)-iv). ¿Puede alguien darme un ejemplo en el que vaya a utilizar una de estas tres afirmaciones o todas ellas?

Gracias.

Answer 1

(demasiado largo para ser un comentario) No tengo una copia de Atiyah-MacDonald delante de mí, así que no puedo dar referencias exactas en este momento. Y no me extrañaría que (iii) se mencionara sólo para dar un buen resultado de (ii) y facilitar la demostración de la (muy útil) parte (iv).

Pero cuando leo (ii)-(iv), la que me salta a la vista en utilidad es la (iv). Por ejemplo, al demostrar cosas sobre extensiones integrales, los teoremas de subida y bajada, y algunas formas del Nullstellensatz de Hilbert (todo ello en AM), se utiliza (iv).

Aparecerá una especie de patrón general. Algunos anillos pueden ser muy complicados, así que para discernir algo sobre su estructura podemos localizar en algún ideal primo u otro. Esto se comporta bien, y las localizaciones suelen ser más bonitas que el propio anillo original. Este es el patrón utilizado, si no recuerdo mal, en las pruebas de los teoremas de subida y bajada en AM.

Puede ser incluso un mejor consejo sentarse y repasar los ejercicios. AM es conocido por tener muchos resultados no triviales en los ejercicios, y estoy seguro de que esta proposición será útil allí.

Answer 2

De todas las afirmaciones anteriores, la número 4 es la que más he utilizado. Permítanme que les hable de para qué se puede utilizar el número 4:

1. Demostración del teorema de la mentira: Dada una extensión finita $A \subset B$ para cada ideal primo $P \subset A$ existe un ideal primo $Q$ de $B$ que se encuentra encima de $P$ es decir $Q^{c} = P$ . Esto se puede demostrar observando que $S^{-1}B$ es una entidad finitamente generada $S^{-1}A$ - (Para demostrar esta parte, recuerdo haber usado algunos productos tensoriales, creo) y luego, si dibujas un diagrama apropiado, puedes aplicar (iv). Creo que tienes a tu disposición el Lemma de Nakayama como $S^{-1}B$ es una entidad finitamente generada $S^{-1}A$ - módulo.

2. Demostrar que un anillo $A$ es absolutamente plana si $A_\mathfrak{m}$ para cada ideal máximo $\mathfrak{m}$ .

3. Demostrar que todo ideal primo de $A$ es máxima si $A/\mathfrak{R}$ es absolutamente plana. $\mathfrak{R}$ es el nilradical de $A$ .

4. ¡Atiyah Macdonald problema 3.6 - Para este problema una de las localizaciones iirc reduce al caso de un anillo local, y eso es muy poderoso!

5. Demostrando que si el anillo $A$ no tiene elementos nilpotentes y $\mathfrak{p}$ un ideal primo mínimo de $A$ entonces $A_\mathfrak{p}$ es un campo. Puedes ver una prueba aquí.

6. En realidad no se trata de la correspondencia ideal en (iv) sino del siguiente resultado: Si se tiene un ideal $I$ disjunta de $S$ entonces siempre se puede encontrar un ideal primo $P$ tal que $P \supset I$ y es máxima con respecto a la propiedad de que $P \cap S = \emptyset$ . Este es el lema de Krull, y puedes utilizarlo para demostrar los problemas 1.14 y 3.7(i) de Atiyah - Macdonald.

7. Demostrando que el nilradical de $S^{-1}A$ es $S^{-1}\mathfrak{R}$ . Esto se utiliza en el primer paso en la dirección "si" de #3 arriba.