Inexistencia de $C^1$inyectiva asignación $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$.

Question

Un amigo mío hizo una prueba de ayer, donde se pide demostrar que no existe un $C^1$ inyectiva asignación de $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$.

Este es un resultado inmediato de la invariancia del dominio, pero ya que esta es una verdadera prueba de análisis (donde la gente está siendo presentado a la derivación en $\mathbb{R}^n$), traté de llegar a una solución primaria. Sin embargo, ninguno vino a la mente.

Pensé en utilizar el formulario de inundaciones (que, por cierto, yo no esperaría que en este punto en el curso de mi amigo es de tomar de todos modos), pero tendríamos que tener una valor que está en la imagen, y esto no es dado por la hipótesis, ni por Adrs del teorema.

Ya que esto fue en el examen, tengo la sensación de que puede estar dejando algo de deslizamiento. Mi pregunta es para probar que la sentencia dada con sólo herramientas de diferenciación en $\mathbb{R}^n$ (teorema de la función inversa, regla de la cadena, etc).

Answer 1

Aquí está la más elemental argumento de que puedo encontrar. Supongamos $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$$C^1$. Por la baja de semicontinuity de clasificación, podemos encontrar un abierto no vacío subconjunto $U\subset\mathbb{R}^3$ que $df$ tiene rango constante. Si conoce la constante de rango teorema, ya está hecho: desde la constante rango de $df$ $U$ es de menos de $3$, $f$ no será inyectiva en a $U$. (Por cierto, si usted está asumiendo que los estudiantes estaban en espera de conocer el teorema de la función inversa, me parece razonable que también puedan conocer la constante de rango teorema.)

Sin el uso de la constante de rango teorema, se puede terminar la prueba como sigue utilizando el Peano teorema de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias (puede utilizar el más estándar de Picard teorema de existencia si usted sabe que $f$$C^2$). Voy a suponer que la constante rango de $df$$U$$2$; los otros casos son similares. Fijar un punto de $p\in U$ y deje $u,v,w\in\mathbb{R}^3$ ser vectores tales que el $df_p(u)=0$ $df_p(v)$ $df_p(w)$ son linealmente independientes. Reducción $U$, podemos suponer que en el hecho de $df_q(v)$ $df_q(w)$ son linealmente independientes para todos los $q\in U$. Definir $h:U\to\mathbb{R}$ $h(q)=u+av+bw$ donde $a$ $b$ son los únicos escalares tales que $df_q(u+av+bw)=0$. La continuidad de la $df$ (y la continuidad de la inversión de matrices) implica que $h$ es continua.

Por el Peano teorema de existencia, no existe $g:(-\epsilon,\epsilon)\to U$ tal que $g(0)=p$$g'(t)=h(g(t))$. Desde $df_q(h(q))=0$ todos los $q\in U$, nos encontramos con que la derivada de $f\circ g$ se desvanece de forma idéntica. Por lo $f$ es constante en la imagen de $g$. Desde $h$ nunca se desvanece, $g'$ nunca se desvanece, por lo que esta imagen tiene más de un punto. Por lo tanto $f$ no es inyectiva.