¿Puede Laplace ' ecuación s ser resuelto utilizando la transformada de Fourier en vez de series de Fourier?

Question

Lo siento por el largo texto, pero no soy capaz de hacer mi pregunta más compacto.

Cualquier función periódica puede ser ampliado de Fourier. Generalmente, se dice en física matemática de los libros, si la función no es periódica hacemos uso de la transformada de Fourier, que es más general que la serie de Fourier de expansión.

Si la transformada de Fourier es más general, no hacemos uso de ella para ampliar las funciones periódicas así? ¿Por qué las funciones periódicas en los libros de texto son sólo de Fourier expandido, pero no de Fourier transformada?

Más específicamente, el valor de límite de problemas que resolver en el electromagnetismo (como en el capítulo 3 de Griffiths) en el que, por ejemplo, algunas de las potenciales se especifica en la frontera de una región y queremos encontrar el potencial en el interior de la región, este problema se suele resolver por separación de variables, a continuación, finalmente, la aplicación de la transformada de Fourier de la serie de expansión para adaptarse a las condiciones de frontera. Los problemas nunca se resuelven usando la transformada de Fourier, ¿por qué? es debido a que en la serie de Fourier de expansión que uno tiene el control sobre el truncamiento de la serie a lo que la precisión que uno quiere, mientras que para la transformada de Fourier se puede hacer eso? o es un problema de convergencia?

Si ambos son viables, debe haber algunos criterios sobre la utilización de uno sobre el otro!

Si uno puede señalar una referencia en el que Laplace de la ecuación se resuelve de una vez con series de Fourier y una vez con la transformada de Fourier de que será muy apreciada.

Answer 1

La transformada de Fourier de una función periódica es una función delta en cada posición del número entero con coeficiente igual al valor correspondiente de la serie de Fourier. Puede mostrar esto multiplicando la función por una gaussiana muy amplia y tomando el límite. La teoría matemática se hace rigurosa en el tema de las distribuciones de templado.

Answer 2

Usted probablemente puede responder a esta pregunta a ti mismo. Usted sabe que cualquier función periódica puede ser ampliado en una serie de Fourier. Si Fourier transforma dicha serie, ¿Qué obtienes?

Sugerencia:

\begin{equation} \int e^{inx}e^{-ipx}dx = 2\pi\delta(p-n) \end{equation}

Answer 3

Para la transformada de Fourier de una función existe, su valor absoluto debe ser integrable, $\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|\mathrm{d}x<\infty$. El valor absoluto de una función periódica no es integrable en un infinito de dominio, por lo que no transformada de Fourier. [Para disfrutar de toda la potencia de análisis de Fourier, la función debe ser cuadrado integrable, $\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm{d}x<\infty$.]

Para la expansión de Fourier de una función periódica, la función tiene que ser integrable en el finito de dominio de un período de la función, $\int\limits_0^L |f(x)|\mathrm{d}x<\infty$, en lugar de en toda la recta real, que muchos o la mayoría de las funciones periódicas uno se reúne en el electromagnetismo problemas.

Así, la diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier de la expansión de una función periódica es que la integración es un infinito de dominio, respectivamente, de un número finito de dominio.

Las transformadas de Fourier/expansiones son muy adecuados para rectilíneo sistemas de coordenadas, pero en general son menos adecuadas para problemas en los que las condiciones de frontera escoger curva sistemas de coordenadas. El análisis de Fourier es, no obstante, a menudo se puede usar como una primera aproximación, como cuando los campos electromagnéticos están dirigidos a lo largo de una curva de la guía de onda.