La recíproca donde $f(g(x))=x\neq g(f(x))$

Question

Si $f: \mathbb{Z\to Z}$$G: \mathbb{Z\to Z}$, encontramos a $f$, e $g$ tal que $f(g(x))=x\neq g(f(x))$.

Me puede encontrar un montón de $f$ $g$ que no son iguales cuando compone el uno con el otro, pero no tengo idea de cómo proceder. Una sugerencia sería útil.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: la Aplicación de $g$ a la igualdad de da $g(f(g(x)))=g(x)$ así que si $y=g(x)$, entonces debemos tener $g(f(y))=y$. Así, el resultado sólo podía fallar por $y$ no $g(x)$ cualquier $x$. Lo que es una forma sencilla de construir una función que, dicen, se pierde uno de esos $y$?

Answer 2

E. g. $\ g(n):=2n$, $f(2n):=n$ y puedes hacer cualquier cosa en las probabilidades...

Tenga en cuenta que nosotros no ha $x\ne g(f(x))$ todos los $x$ si $x=g(y)$ algunos $y$,$g(f(x))=g(f(g(y)))=g(\,y\,)=x$.

Answer 3

Sugerencia: Si para todas las $x$ en el dominio de $g$, $f(g(x))=x$, a continuación, $g$ es uno-a-uno, y $f$ es sobre. Por el contrario, si $g\colon S\to T$ es uno-a-uno, entonces existe una función de $f\colon T\to S$ $f(g(x))=x$ todos los $x\in S$. Y también, si $f\colon T\to S$ es sobre, entonces no es $g\colon S\to T$ $f(g(x))=x$ todos los $x\in S$. Todas estas afirmaciones son bastante demostrado fácilmente excepto la última, que es equivalente al Axioma de Elección. Así que, como @CutieKrait ha dicho, usted necesita un uno-a-una función que no es para uno de ellos, y su "semi-inversa" para estar en pero no uno-a-uno.