Conjuntos tipo Mandelbrot para funciones distintas de $f(z)=z^2+c$ ?

Question

¿Existen análogos bien estudiados del conjunto de Mandelbrot que utilicen funciones distintas de $f(z)= z^2+c$ en $\mathbb{C}$ ?

Answer 1

Aquí está el conjunto de Mandelbrot en el disco de Poincaré. Lo hice sustituyendo todas las operaciones habituales en la iteración

$$z_{n+1} = z_n^2+c$$

por equivalentes "hiperbólicos". La adición de una constante se interpretó como una traslación en el plano, y el equivalente hiperbólico es entonces

$$z \mapsto \frac{z+c}{\bar{c}z+1}$$

Para la operación de cuadratura, eso significó que utilicé la duplicación de ángulos más el reescalado de la distancia por un factor dos basado en la fórmula de distancia para el Disco de Poincaré:

$$d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\bar{z_2}}\right|$$

Answer 2

Empezando por la muy conocida fórmula de iteración que crea el _Conjunto de Mandelbrot_

$z_{n+1}=z_n^2+c$ ,

donde $c=z_0=x_0+iy_0=\text{Re}(c)+i\text{Im}(c)$ es una constante compleja que es el punto de partida de la trayectoria generada en el plano complejo por la iteración, en Doppelpot , del blog alemán Los mundos de los cuentos por Nachtwaechter Se explica que, cuando tenemos dos exponencias complejas, los fractales generados por la fórmula recursiva son normalmente hermosos, en particular los de los conjuntos de Julia.

I sugerido al autor para que pruebe las siguientes fórmulas:

$z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c$

$z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}c}$

$z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}+c}$

$z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}$

$z_{n+1}=z_{n}^{c}$

En Cuatro formas se muestran los fractales.

He reproducido algunos con el permiso del autor en este entrada de mi blog.

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Esta es generada por $z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c$ :

y esto por $z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}$

Answer 3

Isaac, la pregunta auxiliar que debemos hacernos antes de responder a tu pregunta es: ¿cuál es la generalización "correcta" (es decir, la más relevante/interesante desde el punto de vista matemático) del conjunto de Mandelbrot a otras familias de funciones parametrizadas? Por supuesto, se puede tomar alguna familia holomórfica arbitraria de funciones $f_c(z)$ que depende holomórficamente del parámetro $c$ y para cada $c$ , escoge algún valor de partida $z_0$ (que depende de $c$ de manera esencialmente arbitraria) y colorear el plano de alguna manera basándose en el comportamiento a largo plazo de los iterados. Sin embargo, como muestran algunos de los otros posts, normalmente acabas con objetos que no se parecen realmente al conjunto de Mandelbrot, así que el estatus de esta construcción como la generalización "correcta" del conjunto M es muy dudoso.

Aquí está lo que creo que es la respuesta correcta a mi pregunta auxiliar: el límite del conjunto estándar de Mandelbrot es el locus de bifurcación para la familia holomorfa $f_c(z) = z^2 + c$ es el conjunto de $c$ en el que el comportamiento dinámico a largo plazo de $f_c$ no es continua. (Por ejemplo, si se cruza el límite y se pasa del interior del conjunto M al exterior, se pasa de tener una órbita atractora de valor finito a no tenerla (con sólo el punto fijo en el infinito atrayendo)). Este concepto se aplica igualmente a otras familias holomorfas, y esto es lo que creo que es la generalización correcta del conjunto M: el lugar de bifurcación de una familia $f_c(z)$ de funciones holomorfas que depende holomórficamente de $c$ . De forma más general, podemos pensar no sólo en el lugar de bifurcación, sino en un "catálogo" más completo de la dinámica de la familia: una partición del plano complejo en el conjunto de bifurcación más la unión de un montón de conjuntos abiertos en los que el comportamiento dinámico a largo plazo varía de forma continua (que para el conjunto M, sería una partición del plano en el exterior, el límite y todos los cardiodes y bulbos (incluidos los de las copias más pequeñas del conjunto M que se encuentran cerca del límite)).

Ahora, para responder su pregunta: sí, estos objetos se han estudiado con cierta generalidad, pero no soy un experto en la materia y, por tanto, no puedo decirte todo sobre ellos. Sin embargo, por ejemplo, se sabe que todo lugar de bifurcación no vacío contiene copias de la frontera del conjunto M estándar (o el lugar de bifurcación de la familia $z\mapsto = z^d + c$ para algunos $d$ el "grado". $d$ M-set"), y además, que estas copias son densas en cada lugar de bifurcación.

Answer 4

Existe la Conjunto de Julia que puede definirse para cualquier mapa racional complejo f(z) = P(z)/Q(z) donde P(z) y Q(z) son polinomios.

El conjunto Julia para el mapa f _c (z) = z^2 + c está relacionado con el conjunto de Mandelbrot en el sentido de que un punto z está en el conjunto de Mandelbrot si el conjunto Julia de f _c (z) está conectada.

Answer 5

Una variante del conjunto M puede definirse de forma directa para cualquier función iterada en el plano complejo parametrizada por un único valor inicial. Por ejemplo, con ligeras modificaciones se obtiene el tricornio y barco en llamas fractales. Sin embargo, la mayoría de estas variaciones tienden a ser aburridas, incoherentes u obviamente derivadas del conjunto de Mandelbrot, nada particularmente novedoso.

También surgen rápidamente algunos patrones obvios a partir de muchas variaciones: Los exponentes reales alteran la simetría, los exponentes imaginarios provocan una torsión asimétrica, las funciones despreciables producen bultos deformes como el barco en llamas, etc.

Por otro lado, es más difícil de lo que cabría esperar evitar el conjunto M en primer lugar: Para un ejemplo bien conocido, considere el método Newton-Raphson para aproximar las raíces que se puede generalizar al plano complejo de forma sencilla. Para algún polinomio, un punto en el plano complejo puede converger o no a una raíz particular después de cierto número de iteraciones de Newton-Raphson. En la mayoría de los casos, el trazado de las regiones de divergencia y convergencia por raíz produce un fractal. Modificar el polinomio y la fórmula de iteración produce efectos análogos a modificar la constante y la función de iteración, respectivamente, de un conjunto de Julia estándar, y de hecho resulta que los fractales de Julia pueden considerarse un caso especial de los fractales de Newton-Raphson .

También se puede encontrar una estructura análoga en otros lugares además del plano complejo. El comportamiento de desdoblamiento del período del mapa logístico se relaciona con el comportamiento de los puntos en la línea real del conjunto M, y las islas de estabilidad para el mapa logístico corresponden a las posiciones de los mini-Mandelbrots. También se pueden encontrar elaboradas estructuras tipo Julia en los cuaterniones, aunque lamentablemente la visualización de los fractales de 4 dimensiones es algo difícil.

Mi sospecha es que la estructura tipo Julia surgirá para cualquier fractal definido por medios similares, por ejemplo, clasificando los puntos en conjuntos basados en su comportamiento bajo la iteración repetida de una transformación sensible a la posición, pero no estoy seguro de cómo definir "medios similares" con suficiente precisión para formalizar eso.