Rudin la regla de la cadena: ¿por Qué es la continuidad en el intervalo necesario?

Question

Teorema 5.5, Rudin Principios de análisis Matemático dice:

Supongamos $f$ es continua en a $\color{red}{[a,b]}$,$ f'(x)$ existe en algún punto de $x\in [a,b], g$ está definido en un intervalo de $I$ que contiene el rango de $f$, e $g$ es diferenciable en el punto de $f(x)$. Si $$h(t)=g(f(t)) \quad (a\le t \le b)$$ then $h$ is differentiable at $x$, and $$h'(x)=g'(f(x))f'(x)$$

Creo que he entendido la prueba. Pero, ¿por qué es la continuidad en $[a,b]$ requerido? Me differentiablity en $x$ $f$ e la misma en $f(x)$ $g$ es la única condiciones requeridas.

Answer 1

Tienes razón, en la prueba de Rudin sólo se utiliza la continuidad de $f$ $x$ (consecuencia de la diferenciabilidad sin más la hipótesis). En otra de las fuentes (Wikipedia, Cartan...) sólo la la diferenciabilidad de $f$ $x$ e de $g$ $f(x)$ es necesario.

Answer 2

En la primera edición (1953) Rudin escribe en el inicio de la prueba:

Primero de todo, Teoremas 4.10 y 4.19 muestran que $R$ es un intervalo, de modo que tiene sentido hablar de la derivada de $g$ (hemos definido la derivada únicamente para las funciones definidas en intervalos y segmentos).

La premisa es que falta en las otras ediciones.

Nota 1. El teorema se supone que "$g$ se define en el rango de $R$$f$".

Note2. Rudin llama a$[a,b]$, un intervalo de, $]a,b[$ un segmento .