El problema con la escritura de esta respuesta es que el "dale a un hombre un pescado" es mucho más elemental que el "enséñale a pescar". Pero voy a tratar de hacer ambas cosas.
En primer lugar, la fácil observación. Set$X=x/y$$Z=z/y^2$. Si $x^4+16x^2y^2+y^4=z^2$, $X^4+16X^2+1 = Z^2$ $X$ $Z$ racional. Por el contrario, si tenemos una solución a $X^4+16X^2+1 = Z^2$ $X$ $Z$ racional entonces, para $d$ lo suficientemente grande, $(Xd, d, Zd^2)$ es una solución a $x^4+16x^2y^2+y^4=z^2$ en números enteros. Así que podemos buscar soluciones racionales a $X^4+16 X^2+1 =Z^2$. Racionales son más fáciles de tratar que los enteros, y tenemos menos una variable para guardar la pista de.
El Pescado:
Conjunto
$$U = Z - X^2 - 8 \quad V=X(Z-X^2-8).$$
Observe que
$$X = V/U \quad Z = U + (V/U)^2 + 8.$$
Por lo $(U,V)$ son racionales si y sólo si $(X,Z)$.
Reescribir nuestra ecuación dada
$$Z^2 - (X^2+8)^2 = -63$$
$$(Z-X^2-8) (Z+X^2+8) = -63.$$
$$U (U+2(V/U)^2+16) = -63.$$
$$U^3 + 2 V^2 + 16 U^2 = - 63U.$$
$$2 V^2 = - U^3 - 16U^2 -63 U.$$
Cada paso es reversible, excepto que la solución de $(U,V) = (0,0)$ no corresponden a una selección de $(X,Z)$. Así que bajamos a la búsqueda de puntos racionales en $2 V^2 = - U^3 - 16 U^2 - 63 U$.
Ahora, hay software para la búsqueda de puntos racionales en $V^2 = \mathrm{cubic}$. Yo no soy muy experto en este tipo de cosas, así que estoy esperando que algún otro lector va a hacer esa parte. Esta respuesta es la CW para que sea fácil de editar en el resultado.
Cómo pescar:
Esta parte de la respuesta presupone una cierta familiaridad con el trabajo con las curvas algebraicas. He tratado de escribir esto en un modo elemental, pero, si no ver nada de esto, usted puede trabajar a través de un libro como el de Fulton Curvas Algebraicas en primer lugar.
Así que, ¿de dónde surgió la sustitución de $(U,V) = (Z-X^2-8, X(Z-X^2-8))$? Lo que yo sabía era que la curva de $Z^2 = X^4+16X^2+1$ es un género de una curva con dos perforaciones. Eso significa que las complejas soluciones a esta ecuación el aspecto de un tubo interior con dos agujeros en ella. Cerca de la una de la punción, $X$ $Z$ son grandes y $Z \approx X^2$, cerca de los otros punción $X$ $Z$ son grandes y $Z \approx -X^2$. Software para trabajar con curvas elípticas quiere la curva en la forma $V^2 = \mathrm{cubic}$, que es un género de una curva con una sola punción.
Algebraicamente, necesito calcular el anillo de polinomios en $X$ $Z$ que no explote en uno de los dos pinchazos. Elegí trabajar cerca de la perforación donde $Z \approx X^2$.
Siendo más precisos,
$$Z = \sqrt{X^4+16x^2+1} = X^2 \sqrt{1+16/X^2+1/X^4} = X^2 (1+8 X^{-2} - (63/2) X^{-4} + 256 X^{-6} + \cdots )$$
$$=X^2+8 - (63/2) X^{-2} + 256 X^{-4} + \cdots.$$
(Expansión de la serie encontrada por el mismo método de mi cálculo uso de los estudiantes.) Por lo $Z-X^2 - 8 = -(63/2) X^{-2} + \cdots$ $X(Z-X^2-8) = -(63/2) X^{-1} + \cdots$ no explote en la perforación donde $Z \approx X^2$.
En la perforación donde $Z \approx - X^2$. la función de $U$ estalla como $X^2$ $V$ estalla como $X^3$.
Ahora, aquí estoy basó en el hecho de que yo sabía cómo curvas elípticas trabajo. Si tengo dos funciones $U$ $V$ sobre una curva elíptica $E$, que soplan hasta el fin de $2$ $3$ a un punto de la curva, y no estallar en cualquier otro lugar, a continuación, $U$ $V$ generar el anillo de funciones en $E$ que sólo volar en ese punto. Por otra parte, existe una relación entre el $U$ $V$ de la forma $V^2 + (aU+b)V + (cU^3+dU^2+eU+f)=0$. Así que yo ya sabía que yo había encontrado suficientes funciones como para generar el anillo, y que habrá algunos cúbicos relación entre el $U$ $V$ encontrar.
Hay algunos principios formas en que podría haber encontrado la relación, pero en este punto es más fácil meterse con el álgebra hasta que me funcionó de esa $V^2 = - U^3 - 16U^2 -63 U$.
