Por ejemplo, en mi clase de Análisis el profesor mostraron $\sqrt{2}$ existe el uso de Arquímedes propiedades de $\mathbb{R}$ y se demostró $e$ existe. Quiero saber por qué es importante para demostrar su existencia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Antes de comer un sándwich es una buena idea asegúrese de que existe, ¿verdad? Bueno, es obvio que existe si lo puedo ver, así que puede no ser consciente de la necesidad de establecer la existencia, pero que yo había establecido la existencia.
En otras situaciones esto se hace menos tonto, particularmente en los casos donde la existencia de lo que se desea estudiar o para uso no es evidente. Situaciones en la vida real son abundantes: Antes de salir para el estudio de lo sobrenatural mejor establecer que un fenómeno sobrenatural existe (el famoso, un montón de investigación entró en el estudio de lo sobrenatural sin cualquier fenómeno sobrenatural en existencia), antes de creer en las afirmaciones de un libro que hace acerca de los deseos de uno u otro dios, es mejor establecer si dios existe, antes de utilizar las habilidades psíquicas de un medio en el fin de localizar el paradero de una persona desaparecida, es mejor establecer la existencia del medio reclamado habilidades. (James Randi dedica una gran parte de su vida a desenmascarar a esas tonterías, todos los que resulten por no ser cuidadoso con la comprobación de que existe algo antes de usarlo.)
En matemáticas, entonces no es diferente. Antes de hablar de la raíz cuadrada de $2$, es mejor establecer que existe. Del mismo modo para los otros números. Es tan simple como eso. No es una buena idea simplemente aceptar que existe algún número. Después de todo, puedo afirmar que no existe un número real $x$ que resuelve la ecuación de $x^2+1=\rm {monkey}$, ¿aceptarías? Probablemente no. ¿Qué pasa con mi afirmación de que existe un número real $x$ problemas $x^2+1=0$, ¿aceptas? ¿Por qué no? Así que, finalmente, hacer que acaba de aceptar que existe un número real $x$ problemas $x^2-2=0$? Qué haces que se basa en la fe ciega? ¿Ve usted el valor añadido ahora en la prueba de que un número realmente existe?
Una más puramente matemático respuesta: Algunas construcciones de los números reales se prestan más fácilmente a la construcción de ciertos números. La capacidad para construir un cierto número en un sistema dado puede servir para mostrar la utilidad de la construcción. Por lo tanto, distinta de la general de la importancia de establecer que ciertos números esperamos existen en realidad no existen, en particular la prueba de la existencia de un número puede estar relacionado con los reclamos de la utilidad de una construcción particular de los reales.
Hurkyl
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57397
Usted cree $\sqrt{2}$ es un número... así que la pregunta es si es o no es un número real.
Si los números reales no tienen un número cuyo cuadrado es 2, que sería más bien un defecto grave; esto significaría que el número real puede ser utilizado como escenario para la clase de matemáticas, donde uno quiere tomar una raíz cuadrada de $2$.
Básicamente, las cosas cortar en ambos sentidos, mientras que usted podría utilizar el argumento para justificar la idea de tomar la raíz cuadrada de 2 es una noción útil, el aspecto más importante es que se justifica la idea de los números reales es una noción útil.
También, el argumento es útil como una muestra de cómo usar la integridad de las propiedades de demostrar cosas.
Además, se refuerza la idea de que este tipo de razonamiento puede ser utilizado para definir las cosas. Algunas personas tienen un montón de dificultad con este tipo de argumento; por ejemplo, "no se ha definido $\sqrt{2}$, que acaba de definir una forma de obtener arbitrariamente cerca de una raíz cuadrada de 2, sin llegar nunca a ella". Es mucho más fácil de disipar tales conceptos erróneos cuando el sujeto es algo tan claramente entendido como $\sqrt{2}$.
chaiwalla
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Considerar el geométrica preguntas:
De dónde viene la línea de $y = x$ cruzan el círculo de $x^{2} + y^{2} = 4$?
De dónde viene la línea de $y = -1$ cruzan la parábola $y = x^{2}$?
En 1., la existencia de puntos de intersección que es equivalente a la existencia de raíces cuadradas de $2$ en su número de sistema. Si su "universo" de los usos racional de coordenadas (que son visualmente indistinguibles de las coordenadas reales), la respuesta es nada. En particular, una línea por el centro de un círculo en el plano racional $\mathbf{Q}^{2}$ no necesita cortar el círculo. Este es irritante para la geometría Euclidiana.
En 2., usted puede estar inclinado a responder "nada", pero que sería un limitado visto impuestas por su número de sistema. La existencia de puntos de intersección aquí las cantidades a la existencia de raíces cuadradas de $-1$.
El punto real (je) es que estas preguntas son profundamente análoga. Los tipos de construcción geométrica que se puede hacer, y los tipos de soluciones que usted puede esperar para sistemas de ecuaciones, depende mucho de las propiedades de su sistema de número. Si vas a hacer el barrido de las reclamaciones (el teorema del valor intermedio, existe una función derivable igual a su propio derivados, ...), es mejor que tener algunos teoremas para realizar copias de seguridad.
user21820
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Hay una cosa que el existente (bueno) respuestas no mencionar, que es lo que realmente los números a los que usted se refiere. Se inicia a partir de los números naturales, que se supone que son modelo a contar desde 0 indefinidamente. Nosotros realmente no tenemos más remedio que aceptar su existencia y propiedades en la fe de una manera u otra (ver http://math.stackexchange.com/a/1334753/21820 si te interesa). Pero podemos construir un montón de cosas usando sólo números naturales. En primer lugar, se puede utilizar un par de números naturales para indicar fracciones. Ahora lo que en la tierra son las fracciones? Ellos son lo que sucede cuando usted desee considerar la división de las cosas en pedazos más pequeños o la descomposición de las acciones en idéntico subactions. Esto se denota el uso de los números racionales. Pero en el mundo real, las cosas no parecen ser muy racional. Los Griegos tenían un modelo ideal de la geometría que se utiliza para describir el mundo, donde los puntos eran infinitamente afilados y líneas eran infinitamente delgada, y en ese modelo, al menos, hubo una longitud que podría ser construido por (ideal) de la regla y el compás que no podía ser expresado como cociente de dos números enteros. Como usted probablemente sabe, que fue $\sqrt{2}$. Si las "herramientas de la perfección' (regla y el compás que representa el círculo y la línea) ya produce esfuerzos irracionales, ¿qué más si vamos más allá?
Pero existe una forma "fácil" de respuesta. En el mundo real sólo nos preocupa que se puede obtener una lo suficientemente buena aproximación de cantidades. Para medir la longitud de una mesa, podríamos utilizar una regla o cinta de medir y obtener una aproximación a 1m, o de 1 cm, o incluso de 1mm. 'Claramente', para obtener mejores aproximaciones todo lo que tenemos que hacer es dividir el instrumento de medición de marcas en partes más finas. Tenga en cuenta que cada aproximación hacemos de esta manera es una fracción racional de un metro. Que realmente no es nada más que la definición real de un número con decimales expansiones, donde conseguir una mejor aproximación es simplemente tomar más dígitos significativos. Todo lo que tienes que hacer ahora es definir lo que la adición y la multiplicación significa para expansiones decimales y que le han reconstruido el campo de los números reales. A continuación, se mantiene para demostrar todas las propiedades básicas que le había sido enseñado a tomar por sentado, algunas de las cuales en realidad no son tan fáciles de probar. (Ahora se acepta que ni siquiera podemos medir cualquier cantidad arbitraria de precisión, pero que es importante sólo en la escala cuántica, y es la forma off-topic.)
Hasta ahora podemos conseguir de todo, desde los números naturales (además de algunas otras cosas, como la existencia de secuencias de objetos, de forma equivalente, de las funciones de los números naturales, y así sucesivamente). Por supuesto, ahora debemos comprobar si realmente tienen un número real cuyo producto en sí es $2$. Eso es lo que tu profesor habría sido de ir por la molestia de probar. Del mismo modo para los otros números como $e$ que usamos a lo largo de las matemáticas. No se aprecia muy bien lo que significan estos resultados a menos que realmente captar el hecho asombroso de que se puede "construir" un decimal de expansión que, cuando se multiplica realmente ha $2$ antes del punto decimal, pero todos los ceros después del punto decimal! ¿Te das cuenta de lo increíble que era? =)
fleablood
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Creo que no es tanto mostrar un número existe tal y como se muestra la naturaleza de los números reales es que todos los conjuntos acotados tienen límites. Si algunos de los números no existen, no nos importa realmente si $\sqrt 2$ lo hizo o no.
Lo que hacemos importa es que si tenemos un conjunto de racionales cuyas plazas están a menos de $2$ y un conjunto de racionales cuyas plazas son mayores que las de $2$, entonces debe ser que algo de real tiene un cuadrado igual a $2$. Que debe seguir es lo que es de interés.
