¿libre de $F$ $\implies$ $\mathrm{Hom}_R(M,R)\otimes F\to\mathrm{Hom}_R(M,F)$ es un monomorfismo?

Question

Supongamos que $M$ y $F$ son módulos sobre un anillo comutativo $R$. En general, no es cierto que el natural homomorfismo (functorial) $\mathrm{Hom}_R(M,R)\otimes F\to\mathrm{Hom}_R(M,F)$ es un monomorfismo.

Sin embargo, si $F$ es en realidad un módulo libre, entonces realmente tenemos un monomorfismo en nuestras manos. ¿Hay una explicación clara de por qué esto es así? Gracias.

Answer 1

Este hecho puede ser probado por simplemente appling un poco de resumen de no-sentido. Lo primero de todo es que el módulo de $F$ puede ser escrita como una suma directa (es decir, subproducto en la categoría de $R$-módulos) $$F= \bigoplus_{i \in I} R$$ para algunos de $I$. Así tenemos los siguientes isomorphisms $$\hom(M,R) \otimes F \cong \hom(M,R) \otimes \bigoplus_{i \in I} R$$ porque el producto tensor conmuta con suma directa de ha $$\hom(M,R) \otimes F \cong \bigoplus_{i \in I} \hom(M,R) \otimes R$$ y, a continuación, $$\hom(M,R) \otimes F \cong \bigoplus_{i \in I} \hom(M,R)\ \text{.}$$

(Edit: he hecho anteriormente un error, quiero agradecer a Zhen Lin por señalar el error, ahora la prueba debe ser la correcta).

Ahora no es el natural de la incrustación $$\bigoplus_{i \in I} \hom(M,R) \hookrightarrow \prod_{i \in I} \hom(M,R) \cong \hom \left(M,R^I\right)$$ nos da la incrustación de $$ f \colon \hom(M,R) \otimes F \hookrightarrow \hom\left(M,R^I\right)$$ para cada una de las $\varphi \in \hom(M,R)$ $\sum_{i \in I} a_i e_i \in F$ (donde $\{e_i | i \in I\}$ es una base para $F$ y todos, excepto un número finito de $a_i$$0$) tenemos que $f(\varphi \otimes (\sum_{i \in I}a_i e_i))$ es el elemento de la $\hom(M,R^I)$ tal que para cada una de las $m \in M$ $$f\left(\varphi \otimes \left(\sum_{i \in I}a_i e_i\right)\right)(m)= (a_i \varphi(m))_{i \in I} \in R^I$$ Debido a que sólo un número finito de $a_i$ no es null tenemos la $(a_i \varphi(m))_{i \in I} \in \bigoplus_{i \in I}R=F \subseteq R^I$, este nos dijo que los $f(\varphi \otimes (\sum_{i \in I}a_i e_i)) \in \hom(M,F)$ por cada $(\varphi \otimes (\sum_{i \in I}a_i e_i)) \in \hom(M,R) \otimes F$ y debido a que este es un conjunto de generadores para $\hom(M,R) \otimes F$ esto también nos dice que el $f(v) \in \hom(M,F)$ por cada $v \in \hom(M,R) \otimes F$. Por lo que el $f$ dar lugar a un morfismos (por la restricción de que el objetivo de los morfismos $f$) $$\tilde f \colon \hom(M,R) \otimes F \hookrightarrow \hom(M,F)$$ que creo que es su functorial homomorphism, que es un monomorphism.