¿Es$\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ divisible?

Question

Un grupo$G$ (posiblemente no abeliano) es divisible cuando para todo$k\in \Bbb N$ y$g\in G$ existe$h\in G$ % divisible? ¿O más exactamente, para qué$g=h^k.$ es divisible? (Es claramente para$\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ y$n$.)

Answer 1

Sí. La forma más fácil de verlo es observar que el mapa exponencial que envía una matriz arbitraria (no necesariamente invertible)$A$ to$e^A$ está en para$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$. (Esto falla para algunos de sus otros grupos de matrices favoritos). Entonces$$(e^{\frac{1}{n}A})^n=e^A$$ gives you $ n $ ª raíces.

Answer 2

Sugerencia: El siguiente hecho es de JJRotman y creo que puedes satisfacerlo para$G$:

Si$A$ es un grupo,$m\in\mathbb Z$, y$m_A:~A\to A$ por$$a\longmapsto ma$$ then $ A$ is divisible iff $$\forall m\neq 0,~~m_A~~\text{is a surjection}$ $