Definición de límite cuando $x\rightarrow \infty$

Question

Cada vez que me confundo con la definición de $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L$. No puedo encontrar una referencia que dé la definición.

Estoy tratando de escribir lo que entendí. Verifica si es correcto.

• Por $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L$ queremos decir lo siguiente: Dado $\epsilon >0$ existe $R>0$ tal que $|f(x)-L|<\epsilon$ para todo $x>R$.
• Por $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=L$ queremos decir lo siguiente: Dado $\epsilon >0$ existe $R<0$ tal que $|f(x)-L|<\epsilon$ para todo $x
• Por $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$ queremos decir lo siguiente: Dado $R>0$ existe $L>0$ tal que $|f(x)|>R$ para todo $x>L
• Por $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=-\infty$ queremos decir lo siguiente: Dado $R<0$ existe $L>0$ tal que $f(x)L
• Por $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty$ queremos decir lo siguiente: Dado $R>0$ existe $L<0$ tal que $|f(x)|>R$ para todo $x
• Por $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=-\infty$ queremos decir lo siguiente: Dado $R<0$ existe $L<0$ tal que $f(x)

Déjame saber si entendí algo incorrectamente.

Answer 1

Utilizaré $+\infty$ en esta respuesta para evitar ambigüedad.

Comenzaría con dos definiciones:

• $\lim_{x\to +\infty} f(x) = L$ significa que para todo $\epsilon > 0$ existe un $M$ tal que para todo $x > M$, $|f(x)-L| < \epsilon$ .

• $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ significa que para todo $R$ existe un $M$ tal que para todo $x > M$, $f(x) > R$.

Estas dos definiciones te permiten definir los otros límites por simetría:

$$\begin{align} \lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty & \iff \lim_{x\to+\infty} -f(x)=+\infty\\ \lim_{x\to-\infty} f(x) = M & \iff \lim_{x\to+\infty} f(-x)=M \end{align}$$

Donde el $M$ en el segundo caso puede ser un valor real, o $+\infty, -\infty$.

Por lo tanto, $\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$ significa $\lim_{x\to +\infty} -f(-x) = +\infty$, lo que significa:

Para cualquier $R$ existe un $M$ tal que para todo $x > M$, $-f(-x) > R.

Ahora, dado cualquier $R'$, puedes establecer $R = -R'$ y encontrar $M$ con esta condición, y establecer $M' = -M$. Entonces, si $x < M'$, $-x > M$, y así $-f(x) > R$ o $f(x) < R' = -R$. Así obtenemos de vuelta la definición que queremos.

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La razón para distinguir $+\infty$ de $\infty$ es que algunos libros usan $\infty$ para significar un solo punto en el infinito, en ambas direcciones - esencialmente, fusionando los dos valores $+\infty, -\infty$ en un solo punto en el infinito.

Entonces:

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = L \iff \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} f(x) = L$$

donde $L$ puede ser cualquier número real o $+\infty, -\infty$.

$$\lim_{x\to W} f(x) = \infty \iff \lim_{x\to W} |f(x)| = +\infty$$

Donde $W$ puede ser cualquier número real, o $+\infty$ o $-\infty$, o $\infty$.

Tu pregunta está algo confusa, porque pareces distinguir $\infty$ de $+\infty$ con valores absolutos cuando es el límite, pero no cuando $x\to\infty$.

Answer 2

Tampoco se necesitan los valores absolutos en $|f(x)| > R$. Si f tiende a infinito, entonces $f(x) > R$ es exacto.

Answer 3

Házmelo saber si entendí algo mal.

Sí lo hiciste. Cuando escribes $x \to \infty$ (en lugar de $x \to +\infty$), para $x \in \mathbb{R}$ significa aproximadamente "cuando el valor absoluto de $x$ es arbitrariamente grande" ($|x| > R$, no $x > R$)

Existe una definición universal de límite usando filtros. Un filtro $\mathcal{F}$ es una colección de conjuntos tal que no contiene un conjunto vacío y $\forall f_1, f_2 \in \mathcal{F}, \exists f_3 \in \mathcal{F} : f_3 \subseteq f_1 \cap f_2$. Por ejemplo, un conjunto de vecindades de un punto real $x$ es un filtro ($\{(x-\epsilon, x+\epsilon) | \epsilon \in \mathbb{R}^+\}$, llamado filtro de vecindades); un conjunto de intervalos con extremo infinito ($\{(a,+\infty) | a \in \mathbb{R}\}$) es un filtro; un conjunto de complementos de segmentos ($\{(-\infty,a)\cup(b,+\infty) | a,b \in \mathbb{R}\}$) es un filtro.

Ahora, tomemos una función $h \in \{X \to Y\}$ y un filtro $\mathcal{F}$ en $X$ y un concepto de "vecindades" en $Y" (llamado topología). Luego tomemos esta oración: "existe $y \in Y$ tal que para cualquier vecindad $O_y$ de $y$, hay un elemento del filtro $f \in \mathcal{F}$ tal que $h(f) \subseteq O_y$" y escríbelo de forma abreviada como $\lim_{\mathcal{F}}h(x) = y$.

Escribamos el filtro $\{(a,+\infty) | a \in \mathbb{R}\}$ como $x \to +\infty$, el filtro $\{(-\infty,a) | a \in \mathbb{R}\}$ como $x \to -\infty$ y el filtro $\{(-\infty,a) \cup (a,+\infty) | a \in \mathbb{R}\}$ como $x \to \infty$.

Finalmente, llamemos al conjunto $\{(L-\epsilon,L+\epsilon) | \epsilon \in \mathbb{R}\}$ un conjunto de vecindades de $L$, al conjunto $\{(b,+\infty) | b \in \mathbb{R}\}$ un conjunto de vecindades de $+\infty$, al conjunto $\{(-\infty,b) | b \in \mathbb{R}\}$ un conjunto de vecindades de $-\infty$ y al conjunto $\{(-\infty,b) \cup (b,+\infty) | b \in \mathbb{R}\}$ un conjunto de vecindades de $\infty$.

Con estas reglas podemos derivar cualquier definición. Tomemos $\lim_{x \to -\infty}f(x) = +\infty$. Se traduce como "para cualquier vecindad de $+\infty$ $(b,+\infty), b \in \mathbb{R}$, existe un elemento del filtro $(-\infty,a), a \in \mathbb{R}$ tal que $f((-\infty,a)) \subseteq (b,+\infty)$". O, en una notación más tradicional, $$\forall b \in \mathbb{R}, \exists a \in \mathbb{R} : \forall x \in (-\infty,a), f(x) \in (b,+\infty)$$