Hallar la dimensión de un espacio dado $V$

Question

No sé cómo resolver este problema:

Si $\vec{v}$ es cualquier vector distinto de cero en $\mathbb{R}^2$ ¿cuál es el dimensión del espacio $V$ de todos $2 \times 2$ m $\vec{v}$ ¿es un vector propio?

Lo que tengo hasta ahora es:

$$ \left[ \begin{array}{ c c } a & b \\ c & d \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ c } \lambda v_{1} \\ \lambda v_{2} \end{array} \right] $$

Y resolviendo esto obtengo dos ecuaciones con cuatro incógnitas.

$$ av_{1} + bv_{2} = \lambda v_{1}$$

$$cv_{1} + dv_{2} = \lambda v_{2} $$

No sé muy bien qué hacer a partir de ahora. Al principio resolví por $a$ y $c$ en términos de $b$ , $v_1$ y $v_2$ y $d$ , $v_1$ y $v_2$ respectivamente y obtuve dim = 2, pero la respuesta es dim = 3. ¿Alguna pista de por qué?

Answer 1

Formar una base de $\mathbb R^2$ que consiste en su vector propio dado, $v$ y otro vector, $w \in \mathbb R^2$ (tal que $w \notin \operatorname{span} v$ ). Si $T$ es un mapa lineal con un vector propio $v$ y el correspondiente valor propio $\lambda$ entonces la matriz de $T$ en la base $(v, w)$ es $$ \operatorname{mat}(T) = \begin{matrix} & \begin{matrix} v & w \end{matrix} \\ \begin{matrix} v \\ w \end{matrix} & \left[ \begin{matrix} \lambda & * \\ 0 & * \end{matrix} \right] \end{matrix} $$ [¿Por qué?]. Hay tres números que tenemos que elegir para especificar $T$ : $\lambda$ y los dos $*$ s. Por lo tanto, el conjunto de todos los $T$ es $3$ -dimensional [¿por qué?]

Answer 2

Reescriba su sistema como $$ \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & 0 & 0 & -v_1 \\ 0 & 0 & v_1 & v_2 & -v_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Suponiendo que $v\ne 0$ la matriz tiene al menos un menor máximo distinto de cero, por lo que tiene rango $2$ . Por lo tanto, el espacio $W$ de pares $(\lambda,a)\in\mathbb R\times\mathbb R^{2\times 2}\cong \mathbb R^5$ tal que $av=\lambda v$ tiene dimensión $2$ . Ahora, dejemos que $p\colon \mathbb R\times\mathbb R^{2\times 2}\to\mathbb R^{2\times 2}$ sea la proyección, entonces $p(W)=V$ . Tenga en cuenta que $\ker(p)=\mathbb R\times\{ 0\}$ no está contenido en $W$ por lo que obtenemos $\dim(V)=3$ .

Answer 3

Permítanme dar una prueba constructiva de la siguiente manera.

Si $v_1 \neq 0, v_2 = 0$ podemos elegir la base siguiente: $$E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, E_2 = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, E_3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.$$

Si $v_1 = 0, v_2 \neq 0$ del mismo modo, elija $$E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, E_2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, E_3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.$$

Si $v_1 \neq 0$ y $v_2 \neq 0$ Elige $$E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, E_2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ -v_2/v_1 & 1\end{bmatrix}, E_3 = \begin{bmatrix}-v_2/v_1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.$$

En cada uno de los tres casos anteriores, $E_1, E_2, E_3$ son linealmente independientes. Además, para cada $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in V$ , $A$ puede expresarse como combinación lineal de $E_1, E_2$ y $E_3$ .

Por ejemplo, si $v_1 \neq 0, v_2 \neq 0$ y $Av = \lambda v$ se puede comprobar que $$A = \lambda E_1 + bE_3 - \frac{v_1}{v_2}cE_2.$$

En conclusión, $\dim(V) = 3$ .

Answer 4

Otra solución (utilizando el hecho de que el vector es distinto de cero, y estamos en dimensión 2) es expresar el hecho de que $ \left[\begin{array}{ c c } a & b \\ c & d \end{array} \right] \left[\begin{array}{ c } v_1 \\ v_2 \end{array} \right]$ y $\left[\begin{array}{ c } v_1 \\ v_2 \end{array} \right]$ son colineales por tener el mismo complemento ortogonal, que está comprendido entre $\left[\begin{array}{ c } v_2 \\ -v_1 \end{array} \right]$ . Esto significa que $a,b,c,d$ debe satisfacer la ecuación única (paramétrica en $v_1,v_2$ ) $$ 0 = \left[\begin{array}{ c c } v_2 & -v_1 \end{array} \right] \left[\begin{array}{ c c } a & b \\ c & d \end{array} \right] \left[\begin{array}{ c } v_1 \\ v_2 \end{array} \right] = v_2^2b+v_1v_2(a-d)-v_1^2c,$$ que no es trivial porque $v_1,v_2$ no son a la vez $0$ . La dimensión del espacio de soluciones es, por tanto $4-1=3$ .