Funciones de gran partición canónica para la estadística de Bose-Einstein vs estadística de Maxwell-Boltzmann

Question

En las estadísticas de Bose-Einstein, la gran función de partición canónica es$$\mathcal{Z}=1+e^{-\beta(\epsilon-\mu)}+e^{-2\beta(\epsilon-\mu)}+e^{-3\beta(\epsilon-\mu)}+\cdots$ $

En las estadísticas de Maxwell-Boltzmann, la gran función de partición canónica es$$\mathcal{Z}=1+e^{-\beta(\epsilon-\mu)}+\frac{e^{-2\beta(\epsilon-\mu)}}{2!}+\frac{e^{-3\beta(\epsilon-\mu)}}{3!}+\cdots$ $

¿Por qué existe esta diferencia y cómo se relaciona con las suposiciones respectivas de$N\simeq Z_1$ y$N \ll Z_1$ (donde$Z_1$ es la función de partición canónica para una sola partícula)? ¿Hay supuestos adicionales necesarios para justificar esta diferencia?

Answer 1

La diferencia está en la manera de contar el número de estados del sistema en cuántica y clásica de los casos.

Las fórmulas que escribió son en realidad para la gran canónica de las funciones de partición para un único estado de energía, no de todo el sistema, incluyendo todos los estados de energía. El total de grand canónica de la función de partición es $$\mathcal{Z} = \sum_{all\ states}{e^{-\beta(E-N\mu)}} = \sum_{N=0}^\infty\sum_{\{E\}}{e^{-\beta(E-N\mu)}}$$

Ahora, si las partículas son bosones, entonces la energía autoestados son contables como $\{\epsilon_i\}$ $\mathcal{Z}$ $$\mathcal{Z} = \sum_{\{n_i\}}e^{-\beta\sum_{i}{n_i(\epsilon_i-\mu)}} = \sum_{\{n_i\}}\prod_ie^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}=\prod_i \mathcal{Z_i}^{B-E}$$ donde $n_i$ es el número de partículas en $i$-ésimo estado de energía, por lo $\sum_i{n_i}=N$, y $$\mathcal{Z_i}^{B-E} = \sum_{n=0}^\infty e^{-n\beta(\epsilon_i-\mu)}$$ Aquí, $\mathcal{Z_i}^{B-E}$ es el gran canónica de la función de partición para una energía eigenstate con energía $\epsilon_i$ Bose-Einstein estadísticas.

Por otro lado, en el clásico régimen de la energía de una partícula puede tomar ningún tipo de energía. En este caso, un punto en el $6N$-dimensional del espacio de fase denota un estado de sistema. Por lo tanto, la energía de los estados no son contables como hay un número infinito de puntos en el espacio de fases dentro de cualquier espacio de fase de volumen. Para el recuento de los estados tomamos el "semi-clásica" enfoque por tomar el espacio de fase de volumen de un estado del sistema a ser $(2\pi\hbar)^{3N}$. A continuación, podemos integrar sobre todo el espacio de fase y dividir la integral por esta unidad de volumen para obtener el número de estados. Sin embargo, las partículas se supone que son indistinguibles, cualquier permutación de la configuración del sistema (el conjunto de $\{\vec{x}_n,\ \vec{p}_n\}$) en realidad sería el mismo estado del sistema. Por lo tanto, cuando nos integrar sobre todo el espacio de fase de volumen nos sobre contar el número total de estados por $N!$. Por eso necesitamos dividir la integral por Gibbs factor de $N!$. Para un sistema de no-partículas que interactúan, las N partículas en función de partición canónica, a continuación, puede ser escrito como $Z_N = \frac{Z_1^N}{N!}$ donde $Z_1$ es la función de partición canónica para una partícula.

Ahora, el gran canónica de la función de partición de un sistema clásico sería $$\begin{align} \mathcal{Z}&=\sum_{N=0}^\infty{\int_0^\infty dE\ \Omega(E,N)e^{-\beta(E-\mu N)}} =\sum_{N=0}^\infty e^{\beta\mu N} Z_N = \sum_{N=0}^\infty e^{\beta\mu N} \frac{Z_1^N}{N!}\\ \end{align}$$

Si queremos derivar la función de partición $\mathcal{Z_i}$ para un único estado de energía similar a la de Bose-Einstein estadísticas, podemos suponer que la energía de una partícula a ser discretos y contables como $\{\epsilon_i\}$. Esto puede lograrse mediante la división de la partícula del espacio de fase s de la unidad de volumen y la asignación de un representante de la energía para cada unidad de volumen de la sección. Entonces, el gran canónica de la función de partición es, $$ \begin{align} \mathcal{Z} &= \sum_{N=0}^\infty \frac{e^{\beta\mu N}}{N!} (\sum_i e^{-\beta\epsilon_i})^N\\ &=\sum_{N=0}^\infty \frac{e^{\beta\mu N}}{N!} \sum_{\{n_i\},\sum n_i = N} \frac{N!}{\prod_i n_i!} e^{-\beta\sum_i n_i\epsilon_i}\\ &=\sum_{\{n_i\}}\prod_i \frac{1}{n_i!} e^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}\\ &=\prod_i \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} e^{-\beta n(\epsilon_i-\mu)} = \prod_i \mathcal{Z_i}^{M-B} \end{align}$$

Esta $\mathcal{Z_i}^{M-B}$ es el único de la energía de un gran canónica de la función de partición de Maxwell-Boltzmann estadísticas.

Maxwell-Boltzmann estadística es el límite clásico de Bose-Einstein estadísticas. La condición para que el sistema sea clásica es el único estado de ocupación número de $\bar{n}$ a satisfacer $\bar{n} \ll 1$, en otras palabras, el número total de la partícula estados $M$ debe satisfacer $N \ll M$. Como la partícula de la función de partición $Z_1$ es en realidad una suma ponderada sobre todos los estados, $N\ll Z_1$ va a satisfacer $N \ll M$ para el sistema a ser clásica.

Answer 2

General cuántica comentarios idénticos v. no idéntico a las partículas

Para un determinado quantum de estadística sistema mecánico con el espacio de Hilbert $\mathcal H$, hamilton $\hat H$, y el número de operador $\hat N$, la gran partición canónica de la función se define de la siguiente manera: \begin{align} Z(\beta, \mu) = \mathrm{tr}(e^{-\beta(\hat H - \mu \hat N)}) \end{align} cuando el seguimiento está siendo tomado $\mathcal H$.

La diferencia entre las estadísticas radica en el hecho de que para los sistemas de partículas idénticas, tales como los sistemas de bosones, el espacio de Hilbert es menor que si las partículas no son idénticos, por lo que la traza es un vector diferente de espacio.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema de no-idéntico, que no interactúan entre bosones. Supongamos, por simplicidad, que la única partícula del espacio de Hilbert es de dos dimensiones y que la sola partícula de Hamilton tiene dos autovalores $E_1$$E_2$, con la correspondiente ortonormales autoestados $|1\rangle$$|2\rangle$. Deje $|0\rangle$ denotar el estado con ninguna partícula, entonces el espacio de Hilbert del sistema es atravesado por las siguientes fuentes de energía autoestados: \begin{align} \text{0-particles}:&\qquad|0\rangle\\ \text{1-particle}: &\qquad|1\rangle \\ &\qquad|2\rangle\\ \text{2-particles}:&\qquad |1\rangle|1\rangle\\ &\qquad|1\rangle|2\rangle\\ &\qquad|2\rangle|1\rangle\\ &\qquad|2\rangle|2\rangle\\ \text{3-particles}: &\qquad |1\rangle|1\rangle|1\rangle\\ &\qquad |1\rangle|1\rangle|2\rangle\\ &\qquad |1\rangle|2\rangle|1\rangle\\ &\qquad |1\rangle|2\rangle|2\rangle\\ &\qquad |2\rangle|1\rangle|1\rangle\\ &\qquad |2\rangle|1\rangle|2\rangle\\ &\qquad |2\rangle|2\rangle|1\rangle\\ &\qquad |2\rangle|2\rangle|2\rangle\\ &\qquad\vdots \end{align} De hecho, el $N$-partícula subespacio es atravesado por $2^N$ estados distintos. Sin embargo, si las partículas son idénticas bosones, entonces el espacio de Hilbert es distribuido sólo a través de la simetría de las combinaciones de los estados en cada una de las $N$-partícula en el subespacio, así listado de los estados de: \begin{align} \text{0-particles}:&\qquad|0\rangle\\ \text{1-particle}:&\qquad |1\rangle \\ &\qquad |2\rangle\\ \text{2-particles}:&\qquad |1\rangle|1\rangle\\ &\qquad \tfrac{1}{\sqrt{2}}\big(|1\rangle|2\rangle+ |2\rangle|1\rangle\big)\\ &\qquad|2\rangle|2\rangle\\ \text{3-particles}: &\qquad |1\rangle|1\rangle|1\rangle\\ &\qquad \tfrac{1}{\sqrt{3}}\big(|1\rangle|1\rangle|2\rangle + |1\rangle|2\rangle|1\rangle + |2\rangle|1\rangle|1\rangle\big)\\ &\qquad \tfrac{1}{\sqrt{3}}\big(|1\rangle|2\rangle|2\rangle + |2\rangle|1\rangle|2\rangle + |2\rangle|2\rangle|1\rangle\big)\\ &\qquad |2\rangle|2\rangle|2\rangle\\ &\qquad\vdots \end{align} y es fácil mostrar que, en general, el subespacio con $N$ idénticos bosones es atravesado por $N+1$ estados distintos.

En general, cuando la sola partícula espacio de Hilbert es mayor de dos dimensiones, el recuento puede obtener más difícil, pero la moral es la misma. Que suma más de menos los estados, cuando las partículas son idénticas debido a que el espacio de Hilbert sólo incluye adecuadamente simétrica o anti-simétrica de los estados.

Bose-Einstein - estadísticas de la función de partición

Se puede demostrar (ver http://physics.stackexchange.com/a/101456/19976) que el quantum gran canónica de la función de partición de un sistema de no-interacción, idéntico bosones es \begin{align} Z = \prod_{i\in I}\sum_{n=0}^\infty x_i^n , \qquad x_i := e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)} \end{align} donde $I$ es cierto índice conjunto cuyos elementos de la etiqueta de una sola partícula de energía de los estados (elementos de un ortonormales de energía eigenbasis del espacio de Hilbert), $i$ es el índice de que las etiquetas de estos estados, y $\epsilon_i$ es la energía del estado $i$.

Ahora, supongamos que para cada estado $i$, podemos definir una cantidad $Z_i$ como sigue: \begin{align} Z_i = \sum_{n=0}^\infty x_i^n, \tag{%#%#%} \end{align} que podemos interpretar como la "función de partición para el $\star$th energía eigenstate," a continuación, el pleno de la función de partición para el sistema se puede escribir como un producto de estas $i$'s; \begin{align} Z = \prod_{i\in I} Z_i. \end{align} Ahora, también puede ser demostrado (ver de nuevo http://physics.stackexchange.com/a/101456/19976) que el promedio del conjunto de ocupación $Z_i$ estado $\langle n_i\rangle$ está dado por \begin{align} \langle n_i \rangle = x_i \frac{\partial}{\partial x_i} \ln Z. \end{align} Ahora, observe lo que ocurre cuando se inserta la expresión para la completa función de partición $i$ como producto de la $Z$'s en esta expresión; \begin{align} \langle n_i\rangle &= x_i \frac{\partial}{\partial x_i} \ln \left(\prod_{j\in I} Z_j\right) \\ &= x_i \frac{\partial}{\partial x_i} \sum_{j\in I} \ln Z_j \\ &= x_i \sum_{j\in I} \frac{\partial}{\partial x_i} \ln Z_j \\ &= x_i \frac{\partial}{\partial x_i} \ln Z_i \end{align} donde en el último paso, hemos utilizado el hecho de que cada una de las $Z_i$ sólo depende de la correspondiente $Z_j$, su parcial con respecto a $x_j$ a menos que se desvanece $x_i$. En otras palabras, lo que hemos demostrado es que

El promedio del conjunto de ocupación de estado $i=j$ puede ser calculada por completo de la función de partición $i$ asociada con ese estado.

Ahora, lo que hace cada estado de la función de partición $Z_i$? Bien, volviendo a la definición, nos damos cuenta de que es simplemente una serie geométrica; \begin{align} Z_i = \sum_{n=0}^\infty x_i^n = (e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)})^0 + (e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)})^1 + (e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)})^2 + \cdots \end{align} que es exactamente lo que usted escribió. La interpretación física de esto es que el índice de $Z_i$ representa el número de partículas que ocupan la energía dada estado $n$ con energía $i$, por lo que si pensamos de este estado como su propio sistema, sus niveles de energía se $\epsilon_i$ sin degeneración, donde $n\epsilon_i$.

Maxwell-Boltzmann estadísticas - el límite clásico

Cuando tomamos el límite clásico de la cuántica promedio del conjunto de ocupaciones, se obtiene la de Maxwell-Boltzmann promedio del conjunto de ocupación; \begin{align} n_i = e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}. \end{align} Aparte del hecho de que el único estado de la función de partición que escribió para la de Maxwell-Boltzmann de la distribución de los rendimientos de este límite de la cuantía promedio del conjunto de ocupaciones, no estoy seguro de que en la actualidad, ¿cómo se puede argumentar que es "correcto". De hecho, no estoy completamente seguro de que hay otro criterio válido para juzgar si es correcta.