Mostrando que $\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2n)^n} = 0$

Question

OK, quiero mostrar que

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2n)^n} = 0.$$

Aquí está lo que he probado hasta ahora:

\begin{align} \notag \lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1)}{(2n)^n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{j=1}^{n}(2j-1)}{(2n)^n}\\ \notag &= \lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{j=1}^{n}(2j-1)}{(2n)^n}\cdot\frac{\prod_{j=1}^{n}(2j)}{\prod_{j=1}^{n}(2j)}\\ \notag &= \lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{j=1}^{2n}j}{(2n)^n\prod_{j=1}^{n}(2j)}\\ \notag &= \lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{(2n)^n\prod_{j=1}^{n}(2j)}\\ \notag &= \lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{(2n)^n\cdot 2^n\cdot n!}\\ \notag &= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot\cdots\cdot (2n)}{(4n)^{n}} \end {Alinee el}

¿Desde aquí puede decir que desaparece, pero es suficiente para demostrar que el límite es 0? ¿Hay alguna manera para romper más? ¿Además, hay cualquier identidades producto práctico saber? Básicamente cualquier cosa análoga a la identidad como la siguiente:

$$\sum_{i=1}^n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Gracias

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2n)^n}=\prod_{1\le r\le n}\frac{2r-1}{2n}<\frac1{2n} $$

como cada término $\le1$ y $2n>2r-1$ % finito $r$

Answer 2

¿Y esto? \le \lim_{n \to \infty \lim_{n \to \infty$ $} \frac{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 2n-1}{(2n)(2n) \cdots (2n)}} \frac 1 {2n} \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 0 $

Answer 3

Otro enfoque:

ps

asi que

ps

ps

Answer 4

Una forma más: reescribir numerador como $(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$ y denominador utilizando la fórmula de Stirling como $(2n)^n=(2n)^{\frac{2n}{2}}=e^{2n} (2n)! 2\sqrt{\pi n}(1+o(1))$. Por lo tanto, su expresión se convierte en $$ S=\frac{(2n)!} {2 ^ n n! e ^ {2n} (2n)! 2\sqrt {n}(1+o(1)) \pi} = \frac {1} {2 ^ n n! e ^ {2n} (2n)! 2\sqrt {n}(1+o(1)) \pi} $ que afortunadamente tiende a $0$.

Answer 5

Mi Consejo:

$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)^n}=\frac{(2n)!}{n!(4n)^n}\sim \frac{(\frac{2n}{e})^{2n}\sqrt{4\pi n}}{(\frac{n}{e})^{n}\sqrt{2\pi n}(4n)^n}=\frac{\sqrt{2}(2n)^n}{(2ne)^n}=\sqrt{2}\: \left(\frac{1}{e}\right)^n\to 0$$

Por lo tanto: $$\lim_{n\to \infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)^n}=0$ $

Usar la aproximación de Stirling