Esto es parte de una hoja de ejercicios en análisis complejos. Debería solucionarse mediante métodos elementales como los principales teoremas del análisis complejo.
He conseguido demostrar que$g$ sólo tiene un número finito de ceros usando el teorema de Bolzano-Weierstraß. Si divide$g$ por todos sus ceros obtiene una función holomorfa sin ceros. Ahora no puedo demostrar que esta nueva función es constante.
Porque tiende a infinito como $|z|$ tiende a infinito, es claro que la función tiene un polo en el infinito. Mirando en la esfera de riemann, esto significa que es una función de meromorphic, con su única singularidad en el infinito. Pero usted puede probar que todos los meromorphic funciones en la esfera de riemann son funciones racionales, que es $P(z)/Q(z)$ donde $P$ $Q$ son polinomios. Pero desde $Q$ no tiene ceros en $\mathbb{C}$ (si lo hiciera, la función no sería completo) debe ser constante por el teorema fundamental del álgebra, por lo que la función es igual a $P(z)$ y es un polinomio.
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