Que $f(x)= (\sin x)^x$encontrar $f'(\frac{\pi}{2})$

Question

No estoy seguro si lo deduje bien. Así que, vamos a$f(x)$ =$(\sin x)^x$. $f' = x(\cos x)$ ¿derecho? Entonces sólo sustituye por lo que$f' = \frac{\pi}{2}(\cos\frac{\pi}{2})$? Dado que$\cos(180°)$ es igual a$-1$. Entonces es -$\frac{\pi}{2}$? Dijeron que estaba mal.

Después de leer todos los comentarios que llegué con$f'$ =$(sinx)^x$$\frac{sinxln(sinx) + xcosx}{sinx}$ entonces sustituir$\frac{pi}{2}$ a x por lo que es $90deg.$Is 1 so$cos90$ subido a$sin90deg.$ entonces$1$ mi respuesta final es$90deg.$ que está en la opción múltiple. ¿Pero es correcto? Esta es una opción múltiple por cierto.

Answer 1

Dado que el problema pide el valor de $f'$ a un específico punto, en lugar de una fórmula general para $f'$, se podría buscar una solución simple que involucra la geometría, en lugar de la diferenciación de las reglas.

Tenga en cuenta que$0\leq\sin(x)\leq1$$[0,\pi]$, lo $f(x)=(\sin(x))^x$ entre $0$ $1$ en dicho intervalo. Además, $f(\pi/2) = 1$. Por lo tanto, $f$ tiene un máximo en$\pi/2$, de modo que $f'(\pi/2)=0$.

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Es cierto que me ocurrió con esta explicación después de darse cuenta de que la respuesta fue cero. Como una simple respuesta, sin embargo, sólo se plantea la cuestión - es decir, hay un geométrica simple explicación.

Answer 2

• Consejo. $\log$ De tomar y luego trabajar. Por favor vea Diferenciación logarítmica.

Answer 3

No, $f'(x)$ no $x\cos x$. Para encontrar el $f'$, en primer lugar tomar logaritmo natural de ambos lados de la definición de $f$: $$ \ln(f(x)) = \ln\left((\sin x) ^ x\right) = x\ln(\sin x) $$ y luego tomar el derivado de ambos lados de la ecuación anterior. El lado izquierdo se convierte en $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(x)}{(\sin x)^x}$, por lo que esto le permite resolver por qué $f'(x)$ es.

Answer 4

$ f'(x) = xsin(x)^{x-1}*cos(x) + (sin(x))^{x}*ln(sin(x))$ $f'(pi/2)$ Es el límite como x va a 0 $f'(x)$. El primer término es 0 y $sin(x)^{x}$ 1 cuando x acerca a 0. Por lo tanto $f'(pi/2)$ es lim x-> 0 $ln(sin(x))$ $-\infty$.

Answer 5

A partir de nota de $f(x)=\sin(x)^x$de % que $\ln|f(x)|=x\ln|\sin(x)|$ (los valores absolutos problemas negatividad) y derivado de esto es $$\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|\sin(x)|+\frac {x\cos(x)}{\sin(x)}$ $

Enchufar en $x=\frac\pi2$, obtenemos %#% $ #%