Estoy tratando de encontrar condiciones necesarias y suficientes para una degenerada de celosía en una de las álgebras de división $\mathbb{K}$ a admitir la estructura de un anillo con identidad (alternativa álgebra con identidad, en el caso de $\mathbb{K} = \mathbb{O}$), con la adición, la multiplicación y la identidad de la misma como la en $\mathbb{K}$.
He encontrado estas condiciones para los casos más simples $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (si no he hecho ningún error), pero estoy teniendo problemas en su determinación para los otros dos casos; consulte la sección siguiente para más detalles.
En resumen, mi pregunta es:
¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para una degenerada celosía en $\mathbb{H}$ o $\mathbb{O}$ a ser también una alternativa de álgebra con identidad?
Yo también agradecería cualquier referencia que se ocupa de esta cuestión.
Detalles adicionales
Los casos de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ fácil: la única celosía en los reales, que también es un anillo es $\mathbb{Z}$, mientras que en $\mathbb{C}$ es fácil ver que la rejilla se genera por $1$ y el elemento más pequeño de la norma que no es un número entero, decir $a$. Entonces, desde el $a^2$ está en el ring y, por tanto, en la red, tenemos
$$a^2 = m\cdot a + n\cdot 1,$$
con $m, n$ enteros. Este es un monic ecuación de segundo grado, lo que significa que la rejilla puede ser sólo una orden en el cuadrática imaginario campo de $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$, $d$ positivo (más el entramado sería degenerado). Dado que todos los pedidos de esta forma generar celosías en $\mathbb{C}$ hemos terminado. Dos ejemplos bien conocidos con excepcionalmente amplio grupo de la unidad son el Gaussiano y enteros de Eisenstein $\mathbb{Z}[i]$$\mathbb{Z}[\omega]$$\omega = (1+\sqrt{3}i)/2$; generan la cuadrada y hexagonal celosías, respectivamente.
Durante los cuaterniones y octonions, podemos volver a elegir una base para la celosía compuesta de $1$, un elemento $a_1$ de los más pequeños de la norma que no es un múltiplo de a $1$, un elemento $a_2$ de los más pequeños de la norma que no está en el plano generado por $1$$a_1$, y así sucesivamente. Cada una de las bases de los elementos (excepto $1$) satisface una monic ecuación de segundo grado, como el anterior, ya que $a_i^2$ está dentro de $\mathbb{R}[a_i]$ (cualquier corte en 2D de $\mathbb{H}$ o $\mathbb{O}$ contiene $\mathbb{R}$ es isomorfo al plano complejo). De nuevo, esto obliga a que el $a_i$ a ser cuadrática enteros, aunque no necesariamente con el mismo discriminante.
En el caso de $\mathbb{H}$, esta condición es necesaria pero no suficiente para la red para ser un anillo, ya que el producto de los distintos base de los elementos de $a_i a_j$ está en la red y por lo tanto impone nuevas condiciones relativas a sus respectivos discriminantes; por ejemplo, de la expansión de $a_1a_2$ como una combinación de base de los elementos, me encontré con que el coseno del ángulo entre el $\Im(a_1)/|\Im (a_1)|$ $\Im(a_2)/|\Im (a_2)|$ (pensamiento como vectores en la unidad de la esfera $S^2$ de los puramente imaginarios) debe ser en $\mathbb{Q}[\sqrt{d_1 d_2}]$ donde $d_1$ $d_2$ son discriminantes de $a_1$ $a_2$ cuadrática enteros.
En este punto, el álgebra se hace un desorden y no he sido capaz de encontrar todas las condiciones necesarias. Mi conjetura es que todos los anillos-las rejillas vienen de pedidos en álgebras de cuaterniones $\mathbb{Q}[\alpha, \beta]$ $\alpha^2=-d_1, \beta^2=-d_2, \alpha\beta=-\beta\alpha$ (que son los únicos ejemplos de trabajo he sido capaz de producir), pero sé muy poco acerca de estas álgebras y no he conseguido hasta el momento de demostrar si este es el caso. Quizás este resultado es bien conocido, pero no he encontrado en cualquier lugar que he visto (aunque tal vez me estoy perdiendo los términos correctos para buscar). Ejemplos excepcionales de simetría son los Hurwitz y duoprismatic enteros, se extendió (hasta conjugacy) por $1,i,j,\frac{1+i+j+k}{2}$$1,\omega, j, j\omega$. Generan el 24 de células y 6,6-duoprismatic celosías, respectivamente.
En el caso de $\mathbb{O}$, cada 4D rebanada contiene $\mathbb{R}$ es isomorfo a los cuaterniones, pero de nuevo me esperan nuevas condiciones que la pasta de juntas, estas copias de $\mathbb{H}$ para formar un octonionic estructura de la red. Aquí yo no sé ni por dónde empezar. Como un ejemplo, Conway y el libro de Smith Sobre Cuaterniones y Octonions describe el "octavio enteros", que generar una copia de la $E_8$ celosía.
Posiblemente útil hechos
Aquí están algunos hechos que me pareció que podría ser útil para responder a la pregunta.
-En primer lugar, ya que en todos los casos la base de los elementos son cuadrática enteros, esto significa que la parte real de cualquier elemento de la red es en $\mathbb{Z}[\frac12]$.
-Esto implica que el conjugado $\bar{a}=2\Re(a)-a$ está en la red, y por lo tanto el cuadrado de la norma $|a|^2 = a\bar{a}$ es en la intersección de la rejilla y $\mathbb{R}_{>0}$, es decir, un entero positivo. Esto significa que cada elemento de celosía es una ecuación cuadrática entero, no sólo la base de los elementos, ya que cada número en $\mathbb{K}$ satisface la ecuación de $a^2 = 2\Re(a)\cdot a + |a|^2 \cdot 1$.
-Gracias a la polarización de la identidad, el anterior hecho implica que el producto escalar de dos elementos, si pensamos en la división de álgebra como Euclidiana espacio vectorial sobre los reales, debe ser en $\mathbb{Z}[\frac12]$.
-El conmutador de dos elementos de celosía y el asociador de tres entramado de elementos también deben pertenecer a la red, ya que puede ser expresada como suma de productos.
