Demostrar que si $n$ es un compuesto y $p \gt \sqrt[3]n$, $n/p$ es una privilegiada.

Question

También, $p$ es el menor factor primo de $n$. Estoy tratando de hacer esto por medio de la contradicción.

Desde $n$ es un compuesto, $n = pq$, para algunas de las $q \in \Bbb Z$. Por lo tanto, tenemos $p | n$, $q|n$ y $q = \frac np$.

Hay un teorema que dice $p \le \sqrt n$. Por lo tanto, estoy tratando de hacer uso de este teorema, pero no está seguro de cómo proceder. Hay una manera de llegar a una contradicción que reclama $q \lt p$?

EDIT: he copiado el problema equivocado, lo siento. Pero el problema es demostrar que el $\frac np$ es un primo.

Answer 1

Si entiendo correctamente, quiere probar que si$p$ es el factor primo más pequeño de$n$ y$p > \sqrt[3]{n}$, entonces$\frac{n}{p}$ es primo.

La prueba es por contradiccion. Supongamos que$\frac{n}{p}$ es compuesto. Entonces tiene un mínimo divisor principal$q$, y$q \le \sqrt{\frac{n}{p}}$, es decir,$q^2 \le \frac{n}{p}$. Pero$n < p^3$, así que$q^2 < p^2$ y$q < p$, contradiciendo$p$ es el divisor primario más pequeño.

Answer 2

En respuesta a la solicitud de Jacob Mayle de una explicación de parte de la solución de vonbrand, podemos llegar a$q^2 < p^2$ por lo siguiente (recordando que$n < p^3$):

ps

(La última implicación que ocurre a medida que dividimos a través de p).

Answer 3

Para el nuevo problema, si$n$ es compuesto,$p$ es el factor primario menos de$n$ y$p \gt \sqrt[3]n$, entonces$n=p^2$, en cuyo caso$\frac np=p$, Prime o$n=pq$ con$p \lt q \lt p^2$. $q$ Debe ser primo porque de lo contrario un factor sería menor que$p$ y$\frac np=q$

Answer 4

Sea$n$ 323 = 17$\times$ 19. Entonces$p=19$ es mayor que$n^{1/3} \approx 6.86$, pero$n/p = 17$, que no es compuesto.

Parece que la declaración es incorrecta ?!