Valor mínimo de $2^{2x}+6\cdot 2^x +18$

Question

Valor mínimo de $$2^{2x}+6\cdot 2^x +18.$$

Parece la ecuación cuadrática $$t^2+6t+18=(t+3)^2+9.$$

Así que el mínimo es $9$ si completamos el cuadrado, pero no hay tal $x$ que nos dará $2^x=-3$ .

Así que la respuesta debería ser $18$ como $2^x>0$ para todos $x$ ¡! ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Escribe:

$$2^{2x}+6\cdot 2^x +18=(2^x+3)^2+9$$

Y ver que el mínimo ocurre cuando $2^x \rightarrow 0$ una vez $2^x >0$ .

Así que en este caso tenemos el infimo (no el mínimo) y es $18$ .

Answer 2

La función $$f(x)=2^{2x}+6\cdot 2^x +18$$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$ : si $x_1>x_2$ entonces $$f(x_1)-f(x_2)=(4^{x_1}-4^{x_2})+6\cdot(2^{x_1}-2^{x_2})>0.$$ Por lo tanto, el mayor límite inferior es $$\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=18.$$ Tenga en cuenta que $f$ no alcanza el valor $18$ por lo que no se puede decir que $18$ es el valor mínimo.

Answer 3

Sí, lo es. Sin embargo, el valor no es un mínimo sino un ínfimo porque este valor se toma después de $$\lim_{x\to-\infty}2^{2x}+6\cdot 2^x +18=18$$ ( para todos los reales negativos $x$ tienes $2^{2x}+6\cdot 2^x +18\gt18$ )