El$(x,y)$ ideal no es un$K[x,y]$ - módulo libre

Question

Dado un campo$K$ tenemos el anillo polinomial$K[x,y]$ en$2$ variables, que es también un módulo izquierdo (sobre sí mismo). ¿Cómo podemos probar que el$(x,y)$ ideal no es un módulo gratuito?

Answer 1

Este es un wiki de la comunidad de respuesta con el objetivo de eliminar esta pregunta sin respuesta de la cola.

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Como Chris Águila dejó entrever en los comentarios, libre de ideales en un conmutativa de dominio sólo puede ser generado por un solo elemento.

Si $a,b$ fueron dos elementos de base de una libre ideal en una conmutativa de dominio, a continuación, $ba+(-a)b=0$ sería un trivial $R$-combinación de los dos, pero eso es absurdo, si son miembros de una $R$ -.

Por eso, $(x,y)$, que no es lo principal, no puede ser libre ideal de $K[x,y]$.