¿la unión en un conjunto de medida cero de conjuntos de medida cero tiene que ser un cero?

Question

Si tenemos un espacio de medida X , un conjunto de medida cero B y para cada x en B tenemos un conjunto de medida cero A_x. Si la unión de A_x es un conjunto medible, ¿tiene que ser de medida cero?

Answer 1

No. El conjunto ternario de Cantor $C$ es un conjunto de medida cero, pero tiene cardinalidad $2^{\aleph_0} = | \mathbb{R} |$ . Tomando cualquier biyección $f : C \to \mathbb{R}$ se deduce que $\{ f(x) \}$ tiene medida cero para todo $x \in C$ Sin embargo $\bigcup_{x \in C} \{ f(x) \} = \mathbb{R}$ obviamente no tiene medida cero.