Sea$f: I \to \Bbb R$ diferenciable, donde$I$ es un intervalo abierto en$\Bbb R$. Dejar $a \in I$. Sea$g: \Bbb R \to \Bbb R$ continuo. Si$f(a)=1$ y$f'(x) = g\big(f(x)+x\big) f(x)$, pruebe que$f(x)=0$ no tiene ninguna solución en$I$.
¿Es correcto lo siguiente?
Digamos que tenemos un$t$ que pertenece en$I$ para que$f(t)=0$, entonces:
ps
Sabemos que$$\lim_{x\to t}f'(x) = \lim_{x \to t} g\big(f(x)+x\big)f(x) \tag1$ donde$\displaystyle \lim_{x \to t} g\big(f(x)+x\big) = b$, así que$b \in \Bbb R$ se convierte en$(1)$. Entonces,$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = b \ \mathrm dy$, lo cual es falso porque$b=\frac1{\mathrm dx}$ no puede tender a$b$. ¿Puedo cancelar$\infty$?