5 votos

¿$f(a)=1$ Y$f'(x)=g\big(f(x)+x\big)f(x)$ implican que$f$ no tiene raíces? (Comprobación de prueba)

Sea$f: I \to \Bbb R$ diferenciable, donde$I$ es un intervalo abierto en$\Bbb R$. Dejar $a \in I$. Sea$g: \Bbb R \to \Bbb R$ continuo. Si$f(a)=1$ y$f'(x) = g\big(f(x)+x\big) f(x)$, pruebe que$f(x)=0$ no tiene ninguna solución en$I$.

¿Es correcto lo siguiente?

Digamos que tenemos un$t$ que pertenece en$I$ para que$f(t)=0$, entonces:

ps

Sabemos que$$\lim_{x\to t}f'(x) = \lim_{x \to t} g\big(f(x)+x\big)f(x) \tag1$ donde$\displaystyle \lim_{x \to t} g\big(f(x)+x\big) = b$, así que$b \in \Bbb R$ se convierte en$(1)$. Entonces,$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = b \ \mathrm dy$, lo cual es falso porque$b=\frac1{\mathrm dx}$ no puede tender a$b$. ¿Puedo cancelar$\infty$?

3voto

s.harp Puntos 475

Una rigurosa prueba permite a la refundición de nuestro problema un poco. Suponga $f:[-1,1]\to \Bbb R$ es diferenciable, $f(0)=0$ pero para$x>0$$f(x)>0$. Queremos mostrar que hay una contradicción en si existe un continuo de $g:\Bbb R\to \Bbb R$, de modo que $f'(x)=f(x)g(f(x)+x)$. Si desea me puede explicar como solucionar este problema es la misma que la resolución de la de arriba.

Desde $f(0)=0$ podemos encontrar un diferenciable $h$, de modo que $f(x)=xh(x)$ (esto es a veces llamado el Lema de Morse, específicamente $h(x)=\int_0^1 f'(tx)\,dt$). De ello se sigue que $$f'(x)=h(x)+xh'(x)\overset!= f(x)g(f(x)+x)=xh(x)g(x(h(x)+1))$$ para $x>0$ dividir por $xh(x)$ (debido a $f$ es distinto de cero aquí, así que debe de $h$) para obtener: $$g(x h(x)+x)=\frac1x+\frac{h'(x)}{h(x)}\qquad\text{whenever }x>0$$ Ahora tomando el límite de $x\to0^+$ da $g(0)$ en la izquierda, por lo que también debe hacerlo en el derecho. Primera nota de que $\frac{h'(x)}{h(x)}=\partial_x\ln(h(x))$ y si el término de la derecha es para que tengan un límite que debe tener que $$\partial_x \ln(h(x)) = -\frac1x + c(x)$$ donde $C(x)$ es alguna función continua. Así $$\ln(h(x)) = \ln(1/x) + C(x)$$ donde $C(x)$ es un continuo anti-derivado de la $c$. Sigue tomando exponenciales (recuerden $h(x)$ es positivo) que $$h(x)=\frac{e^{C(x)}}x$$ para $x>0$. Esta es una contradicción a $h(x)$ se continua en $0$, mucho menos diferenciables.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X