Asymptotics de $\newcommand{agm}{\operatorname{agm}}\agm(1,x)$ al $x\to\infty$

Question

Estoy interesado en el asymptotics de $\agm(1,x)$ $x\to\infty$ donde $\agm$ es la aritmética media geométrica. Sé que

$$\sqrt x\le\agm(1,x)\le\frac{1+x}2$$

Por lo tanto, $\agm(1,x)\in\mathcal O(x)$. Entonces me di cuenta de que

$$\agm(1,x)=\agm\left(\sqrt x,\frac{1+x}2\right)=\sqrt x\agm\left(1,\frac{\sqrt x+\frac1{\sqrt x}}2\right)$$

Para un gran $x$, me imagino que tenemos

$$\agm\left(1,\frac{\sqrt x+\frac1{\sqrt x}}2\right)\sim_\infty\agm\left(1,\frac{\sqrt x}2\right)$$

Y si $\agm(1,x)\sim_\infty\alpha x^\epsilon$, luego

$$x^\epsilon=x^{\frac12(\epsilon+1)}\\\epsilon=\frac12(\epsilon+1)\\\epsilon=1$$

Es esto correcto? Y si es así, ¿cómo puedo calcular $$\alpha=\lim_{x\to\infty}\frac{\agm(1,x)}x\ ?$$

Ciertamente parece ser el caso de que $\alpha<1$, a pesar de que me puede llegar a la conclusión mucho más que eso.

Tal vez uno podría encontrar la integral de la forma de ser de utilidad:

$$\agm(1,x)=\frac\pi{2I(1-x^2)}$$

donde

$$I(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{dt}{\sqrt{1-x\sin^2(t)}}=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}$$

Answer 1

Para cada $x>1$, $$\mathrm{agm}(1,x)=x\cdot\mathrm{agm}(1,x^{-1})=\frac{\pi x}{2K(u(x))}$$ where $$u(x)^2=1-x^{-2}$$ and $K$ denota la integral elíptica completa de primera especie.

Cuando $x\to\infty$, $u(x)\to1$. La expansión asintótica de $K(k)$ al $k\to1$ lee $$K(k)=-\frac12\log|1-k|+O(1)$$ hence, when $x\to\infty$, $$\mathrm{agm}(1,x)=\frac{\pi x}{-\log|1-u(x)|+O(1)}=\frac{\pi x}{2\log x+O(1)}$$ en particular,

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}x\cdot\mathrm{agm}(1,x)=\frac\pi2$$

Answer 2

La fundamental asintótica aquí es $$\frac{\pi} {2\operatorname {agm} (1,k)}=K(k') = \log\frac{4}{k}+o(1)$$ as $k\a 0^{+}$. This can be written as $$\frac{\pi} {2k\operatorname {agm} (1,1/k)}=\log\frac{4}{k}+o(1)$$ Putting $x=1/k$ we see that $$\frac{\pi x} {2\operatorname {agm} (1,x)}=\log 4x+o(1)$$ as $x\to\infty $. This implies that your function $\operatorname {agm}(1,x)$ behaves like $\pi x/\log 16x^{2}$ as $x\to\infty$.

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Otra manera de mirar esto es, en términos de nome $q=e^{-\pi K'/K} $ y Jacobi las funciones theta. Tenga en cuenta que $$k=\frac{\vartheta_{2}^{2}(q)}{\vartheta_{3}^{2}(q)}=\frac{4\sqrt{q}\psi^{2}(q^{2})}{2K/\pi}$$ where $\psi$ is one of Ramanujan's theta functions. When $q\a 0^{+}$ then $2K/\pi\1,\psi(q^{2})\a 1$ so that $k/4\sqrt{q}\a 1$. And since $\pi K'/K=\log p^{-1}$ it follows that $K'/\log \sqrt{q} \a - 1$. And this combined with $k/4\sqrt{q}\a 1$ gives us $K'/\log(4/k)\a 1$ as $k\a 0$.

Usted también puede obtener la asintótica para $K'$ señalando que tanto $K(k) $ $K(k') $ satisfacen la misma ecuación diferencial y un análisis de la ecuación indicial da el vínculo entre el $K$ $K'$ es decir $$K(k') =\frac{2K(k)} {\pi}\log\frac{4}{k} -2\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right)k^{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}\right)k^{4}+\dots\right\}$$

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Es de interés señalar que Ramanujan presentado el anterior asintótica en el siguiente gran forma $$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}\exp\left(-\pi\cdot\dfrac{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2};1;1-x\right)}{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac {1}{2};1;x\right)}\right)=\frac{1}{16}$$ and proved it using certain identities relating hypergeometric functions. Using this formula and some more hypergeometric identities (mainly Gauss-Landen quadratic transformation) Ramanujan inverted the relation $$q=\exp\left(-\pi\cdot\dfrac{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2};1;1-x\right)}{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac {1}{2};1;x\right)}\right)$$ to get $$x=\frac{\vartheta_{2}^{4}(q)} {\vartheta_{3}^{4}(q)}, \, {}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{2},\frac {1}{2};1;x\right)=\vartheta_{3}^{2}(q)$$ and further deduced the transformation formula for theta functions. This is quite unlike the modern approaches (based on Poisson summation formula) and Jacobi's approach (based on integral transformations). Ramanujan's approach is more powerful and it led him to consider expressions $$q_{r}(x) = \exp\left(-\frac{\pi} {\sin(\pi/r) } \cdot\dfrac{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{r},\dfrac{r-1}{r};1;1-x\right)}{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{r},\dfrac {r-1}{r};1;x\right)}\right)$$ for $r=3,4,6$ y desarrollar teorías alternativas de la teta de funciones.