Deje $f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $f(x)=x$ por cada $x\in[-1,1]\cap \mathbb{Q}^{c})\cup\{0\}$ $f(x)=\sqrt{\frac{1+p^{2}}{1+q^{2}}}$ por cada $x=\frac{p}{q} \in[-1,1]$. A continuación, $f$ es continua en a $((0,1)\cap\mathbb{Q}^{c})\cup\{0,1\}$.
Cómo encontrar la continuidad y discontinuidad de los puntos? Es allí cualquier teorema para comprobar la continuidad y continua de punto para este tipo de función. Demostrando la continuidad en el uso de $\epsilon-\delta$ definición como la prueba de Thomae función es larga. Por favor me ayudan a deducir la conclusión con menos tiempo.
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aetaur
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Básicamente, lo que hay que mostrar es que, para una secuencia $x_n$ de distinta racionales en $[-1,1]$$\lim_{n \to \infty} x_n =x$,$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = |x|$. Para ver esto, los representan en términos mínimos como $x_n =\frac{p_n}{q_n}$. Ya que hay sólo un número finito de racionales en $[-1,1]$ con cualquier denominador, se deduce que el $q_n \to \infty$, y por lo $f(x_n) = \sqrt{\frac{1 + p_n^2}{1+q_n^2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{q_n^2} + r_n^2}{\frac{1}{q_n^2}+1}} \to \sqrt{\frac{0 + x^2}{0+1}} = |x|$. Así, con el fin de $f$ ser continua en $x$, es necesario tener $f(x)=|x|$, lo que sólo sucede en $x=0$, $x=1$ y en cada número irracional $x \in (0,1)$.
Todavía hay detalles de escribir, pero espero que esta ayuda.
Paramanand Singh
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Esta viene directamente de Hardy es Un Curso de Matemáticas Puras. La función es claramente discontinuo para valores negativos del argumento (porque irracional puntos de conducir a un valor negativo y de puntos racionales de plomo a un valor positivo). Así que cualquiera de los puntos de continuidad, debe recaer en $[0,1]$.Si $x\in(0,1)$ es irracional, entonces podemos asegurar que racionales cerca de $x$ tienen un gran denominador (por lo tanto una gran numerador, ver el teorema al final). Si $p/q$ es uno de esos número racional cerca de $x $ porque $p, q$ son grandes $f(p/q) =\sqrt{(1+p^{2})/(1+q^{2})}$ es cerca de $p/q$ y, por tanto, cerca de $x=f(x) $. Por lo $f$ es continua en a $x$. Si $x=p/q\in(0,1)$, entonces podemos ver que $f(p/q) \neq p/q$ y por lo tanto irracional $y$ cerca de $x$ $|f(y)-f(x) |=|y-f(p/q) |$ es cerca de $|p/q-f(p/q) |$ y, por tanto, no puede hacerse arbitrariamente pequeña. Por lo tanto $f$ es discontinua en a $x$ si $x$ es racional y $x\in(0,1)$. Este problema no se produce si $x=0,x=1$ porque $f(x) =x$.
Para resumir la función de $f$ es continua en a $0,1$ y en todos los irracionales puntos en $[0,1]$.
Nota: Si necesita más formalismo, a continuación, probar el siguiente teorema (y esto no es un trabajo difícil)
Teorema: Si $x$ es irracional e $N$ es un entero positivo, entonces existe un número real positivo $\delta$ de manera tal que todos los racionales en el intervalo de $(x-\delta, x+\delta) $ tienen un denominador mayor que $N$.
