$\lim_{n\to\infty} \frac{\text {No. of elements of order 2 in }S_n}{\text {No. of elements of order 2 in} A_n}=?$

Question

Si $\alpha \in S_n$ sea un elemento de orden $2$ entonces $\alpha$ es el producto de ciclos disjuntos de longitud $2$ Además, si $\alpha \in A_n$ entonces el número de dos ciclos es par.A partir de esto el nº de elementos de orden $2$ en $S_n$ y $A_n$ se puede calcular.Si $a_n$ y $b_n$ sea el número de elementos de orden $2$ en $S_n$ y $A_n$ respectivamente, se puede demostrar que $$a_n=\sum_{m=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac {n!}{2^m(n-2m)!}$$ y $$b_n=\sum_{m=1}^{\lfloor n/4 \rfloor} \frac {n!}{2^{2m}(n-4m)!}.$$ Ahora mi pregunta es qué es $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}?$$

He tomado los valores $n$ de $1$ a $20$ que sugieren que este límite es $2$ pero no se puede abordar esto de forma analítica. Por favor, ayuden a resolver esto.

Answer 1

Me parece que te falta un factor en tus denominadores. El número de formas de elegir $m$ pares desordenados disjuntos de $n$ elementos deben ser $$ F_n(m) = \frac{n!}{(n-2m)! 2^m m!}$$ donde el $m!$ corrige el hecho de que no nos importa el orden de los $m$ se seleccionan los pares en.

Pero el preciso La forma de esta fórmula no es importante en última instancia. Lo importante es que

1. Para un fijo $n$ , como $m$ va de $0$ a $\frac12n$ El término $F_n(m)$ primero aumenta monótonamente hacia un máximo y luego disminuye monótonamente a partir de él. En palabras más elegantes, $F_n$ es unimodal .
2. El pico en ese máximo es amplia y se amplía (en cuanto a la cantidad de $m$ valores que abarca) cuanto mayor sea $n$ es.

Cuando este es el caso, siempre será cierto que el diferencia entre la suma de las posiciones Impares y la suma de las posiciones pares es pequeña en relación con la suma de todo. Más concretamente, esta diferencia es como máximo igual al valor máximo de $F_n(m)$ y porque el pico es amplio, y se hace más amplio cuanto más grande $n$ es, como $n\to\infty$ la diferencia será una fracción progresivamente menor de la suma total.

En lugar de evaluar $F_n(m)$ explícitamente, consideremos cómo varía localmente: $$ \frac{F_n(m)}{F_n(m-1)} = \frac{\binom{n-2m+2}{2}}{m} = \frac{4 m^2 - (4 n+6 )m + (n^2 + 3 n + 2)}{2 m} $$ porque si tenemos un conjunto de $m-1$ pares, hay $\binom{n-2m+2}{2}$ maneras de ampliarlo con otro par, pero cada uno de los conjuntos resultantes de $m$ los pares se cuentan $m$ tiempos.

Podemos encontrar el pico fijando esta fracción igual a $1$ y resolver: $$ 4 m^2 - (4 n+6 )m + (n^2 + 3 n + 2) = 2 m \\ m^2 - (n+2)m + \frac{n^2 + 3 n + 2}4 = 0 \\ m = \frac{n+2 \pm\sqrt{(n+2)^2 - (n^2+3n+2)}}{2} = \frac{n+2 \pm\sqrt{n+2}}2 $$ Sólo una de estas raíces está en el intervalo $[0,\frac n2]$ Así que $F_n(m)/F_n(m-1)$ es mayor que $1$ a la izquierda de la raíz y más pequeña a la derecha de la misma es decir, $F_n$ es unimodal, como se afirma.

Además, como $n$ se hace grande, el pico está bastante cerca de $\frac n2-\frac12\sqrt n$ por lo que si hacemos un poco de trampa y consideramos la "distancia al punto final más cercano del dominio" como un sustituto de la "anchura del pico", podemos ver que el pico efectivamente aumenta su anchura a medida que $n$ se hace más grande - que es todo lo que necesitábamos saber.

---

Si queremos ser menos tramposos, podríamos estimar la derivada de $F_n(m)/F_n(m-1)$ con respecto a $m$ en la ubicación del pico, y ver que va a $0$ como $n\to \infty$ Si mis cálculos son correctos, será más o menos como $-4n^{-1/2}$ . Esto se puede convertir en un argumento más riguroso de que el pico -definido como, por ejemplo, la anchura del rango de $m$ s donde $F_n(m)$ es al menos la mitad de su valor máximo para el $n$ -- se ampliará a medida que $n$ aumenta.