¿Por qué todos los números de Giuga tienen exactamente un factor primo de impar que es congruente con 1 (mod 4)?

Question

¿Por qué todos los números de Giuga tienen exactamente un factor primo de impar que es congruente con 1 (mod 4) , con todos sus otros factores primos de impar siendo congruentes con 3 (mod 4) ?

sólo se conocen trece números de Giuga. Lo son: 30 = 2 · 3 · 5 .

858 = 2 · 3 · 11 · 13 ,

1722 = 2 · 3 · 7 · 41 .

66198 = 2 · 3 · 11 · 17 - · 59.

2214408306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47057 ,

24423128562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 - · 4447.

432749205173838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 - · 775807,

14737133470010574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67213 - · 713863,

550843391309130318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61559 · 29133437.

244197000982499715087866346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47137 - · 28282147· 3892535183,

554079914617070801288578559178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47059 · 2259696349· 110725121051,

1910667181420507984555759916338506 = 2 · 3 · 7 · 43 · · · 1831 · 138683 · 2861051· 1456230512169437.

4200017949707747062038711509670656632404195753751630609228764416 142557211582098432545190323474818 = 2 · 3 · 11 · 23 .31 · 47059 · 2217342227· 1729101023519 · 8491659218261819498490029296021· 658254480569119734123541298976556403.

Los primos que son congruentes con 1 (mod 4 ) están en negrita. Obsérvese que para cada número de Giuga hay exactamente un factor primo de impar que es congruente con 1 (mod 4). Todos los demás factores primos son congruentes a 3 (mod 4 ). ¿Es esto sólo una coincidencia? ¿O hay una razón numérico-teórica para esto?

Answer 1

Esta es una respuesta parcial. Puedo demostrar lo siguiente (excepto un cálculo que remito a Wikipedia para una referencia).

• Si $n$ es un número par de Giuga con $<59$ factores primos, entonces $n$ tiene un impar número de factores primos que son $1$ mod $4$ .
• Si $n$ es un número impar Giuga, entonces $\omega(n) \equiv 2 \pmod 4$ y $\omega(n) \ge 14$ .

Esto ayuda a explicar que algunas de las observaciones en el PO y los comentarios podrían atribuirse razonablemente a fenómenos de "números pequeños", ya que el coste de la búsqueda de números Giuga tiende a crecer de forma doblemente exponencial con el número de factores primos, por lo que cualquier número Giuga que hayamos encontrado tendrá un número relativamente pequeño de factores.

Una cosa importante que esta respuesta no lo hace explicar: ¿por qué exactamente un factor primo? Este patrón parece mantenerse en el entorno más general de las secuencias de Giuga estudiadas por Brenton et al, aunque no he podido encontrar una lista exhaustiva más allá de 7 u 8 términos. Tal vez alguien pueda encontrar un refinamiento sencillo que mejore "impar" a "congruente con $1$ mod $4$ ", o tal vez haya un argumento inteligente que implique residuos cuadráticos.

Prueba: Primero observe que $p \mid \sum_{p\mid n} n/p - 1$ para todos $p \mid n$ . Ya sabemos $n$ es libre de cuadrados, por lo que $n \mid \sum_{p\mid n} n/p - 1$ lo que significa que $(\sum_{p\mid n} 1/p) - 1/n$ es un número entero. Como la suma de los recíprocos de la primera $58$ primos es un poco menos $2$ está claro que cualquier número de Giuga con menos de $59$ los factores primos deben satisfacer:

$$\left(\sum_{p\mid n} 1/p\right) - 1/n= 1.$$

Supongamos que $n$ es uniforme, con $r$ factores primos $p_1,\ldots,p_r$ congruente con $1$ mod $4$ y $s$ factores primos $q_1,\ldots,q_s$ congruente con $3$ mod $4$ . Entonces la ecuación anterior, multiplicada por $2$ es:

$$ 1 + \frac{2}{p_1} + \cdots + \frac{2}{p_r} + \frac{2}{q_1} + \cdots + \frac{2}{q_s} - \frac{1}{p_1\cdots p_r q_1 \cdots q_s} = 2. $$

El LHS es un $2$ -adic entero, por lo que podemos mirarlo mod $4$ (de forma equivalente, despejamos los numeradores, el cálculo es básicamente el mismo). Cada $\frac{2}{p}$ contribuye a un $2$ y un rápido cálculo confirma que $p_1\cdots p_r q_1 \cdots q_s$ es congruente con $1 + 2s \pmod 4$ . Por lo tanto,

$$ 1 + 2(r+s) - (1+2s) \equiv 2r \equiv 2 \pmod 4,$$

lo que equivale a $r$ siendo impar. Esto demuestra que existe al menos un factor primo de la forma $4k+1$ . Obsérvese que el mismo cálculo muestra que si alguna vez encontramos un número par de Giuga con $(\sum_{p\mid n} 1/p) - 1/n = 2$ entonces debe tener un incluso número de factores primos de la forma $4k+1$ por lo que es plausible que la conjetura inicial del OP sea falsa.

El caso en el que $n$ es impar puede ser analizado por los mismos métodos anteriores, pero la conclusión que podemos sacar es que $r+s \equiv 2 \pmod 4$ Así que $\omega(n) \equiv 2 \pmod 4$ . Además, la suma recíproca del primer $6$ Impares primos es $<1$ , por lo que debemos tener $\omega(n) > 6$ . La suma recíproca del primer $10$ impar primes es sólo $\approx 1.0657$ La pregunta es: ¿se puede realizar una breve búsqueda por ordenador de todas las posibilidades? $10$ -soluciones primarias de impar, lo que significa que $\omega(n) \ge 14$ tal y como se reclama en Wikipedia .